三角関数

三角関数（さんかくかんすう）とは、数学における初等関数の一種であり、近現代では単位円を基礎としたものとして識者には理解されている。「直角三角形の角度と辺の長さの関係に由来する」と説明されることが多いため、「三角関数」という名称が定着している。

概要[編集]

デカルト平面や複素平面などの直交座標系上の平面において、座標原点を中心とした単位円を考える。

そうすると、単位円の周上の任意の点について、直角三角形を考えることができる。そこで、その直角三角形の三辺の長さに着目し、角度と辺の長さの比の関係を表現する関数のことを、三角関数と呼ぶ。
b 直角三角形の直角以外の角の角度は0°より大きく 90°より小さいが、三角関数はマイナスや 360°以上も含めた全ての角度で定義されている。とはいえ、数値計算のうえでは、45°まで求まれば、あとはなんとかなる。

単に三角形の辺の比ではなく、初等関数や複素数を視覚的に表現する複素平面などの入口でもあり、応用範囲も広い^{[注 1]}ので、いわゆる工業数学において重要視される。

なお、複素関数まで考えると、三角函数と指数函数と対数函数は統合できて、制御工学（サイバネティクス）の分野における安定性の理論においてはこれが一般的である。「振動するなら三角函数、発散するなら指数函数、収束するなら対数函数」あたりが第一歩となる。

呼称・さまざまな定義[編集]

単位円を考えるとまだしも理解しやすくなるため、遠山啓や森毅などは「『円函数』とでも呼んだ方がいいのではないか」と主張している。
一般的ではないが、「単位長方形を考えたらよくはないか」という意見もある。このとき、x = 1と x = -1 の直線を考えて対角線を延長した半直線を考えると、tan(θ)が理解しやすい。θは X軸から反時計回りに取った対角線の角度である。

種類[編集]

直角三角形 $AOB$ で、 $\angle O=90^{\circ },\ \angle A=x$ とする。 $AO,OB,AB$ の辺の長さをそれぞれ $l,m,n$ とした時、2辺の長さの比は6種類が定義できる。
うち三つは

正弦(sin)
余弦(cos)
正接(tan)

である。これは
${\begin{aligned}\sin(x)&=m/n\\\cos(x)&=l/n\\\tan(x)&=m/l\\\end{aligned}}$
である。
残り三つはその逆数であり、

余接(cot)
正割(sec)
余割(csc)

と呼ぶ。
${\begin{aligned}\cot(x)&=l/m\\\sec(x)&=n/l\\\csc(x)&=n/m\end{aligned}}$
である。
sin, cos は振動・波動を伴うあらゆる分野で頻繁に出現する一方、tanは使う場面がかなり限られる。cot は tanの逆数で、さらに使用頻度が低いが、「水平距離で 1000 m 進むと、何メートル標高が上がる／下がるか」とか考えないと、鉄道なんかだと実感が湧かないのである。「千メートル先の 1 m 」の張る角の単位はパーミルまたはミルといい^[1]、ほとんどゴルゴ13の世界である。^[2]。
sec, csc に至っては滅多に使うことがない。したがって学校でもほとんど教えない。鉄道はそうそう登ったり下ったりせず、ビミューに昇ったり降りたりするときに、「ブレーキを外すと勝手に移動しちゃう」リスクに注目するのが便利だからである。

なおsin,cos,tanは、それぞれラテン語のsinus, cosinus, tangereに由来している。日本では、それぞれの英語名称である、sine（サイン）、cosine（コサイン）、tangent（タンジェント）で呼ぶことが多い。

実数・複素数全体での定義[編集]

XY座標上に、 $A$ を原点 $(0,0)$ にとり、 $O(1,0)$ とする。ここで $B$ が $O$ を出発して、 $A$ を中心とした半径1の円上を反時計回りに $x^{\circ }$ 動いた時の $B$ の座標を、 $(x,y)=(\cos(x),\ \sin(x))$ とする。この定義は、90度未満では上記直角三角形の三角比と同じものであり、さらに正の実数全体に対してsin,cosを決定することができる。回る方向を反時計周りから時計回りにすることで、負の実数についても定義ができる。

さらには、実数のみならず、複素数に対して定義することも可能。この時は、三角関数を、複素数でも使えるが実数の場合と矛盾しない様に定義し直す必要がある。具体的には、指数関数を使って定義することがあるが、指数関数を三角関数で定義しているとも考えられるので、循環論法的な危険もある。テイラー展開の結果に複素数を入れるのもある。この手法は、行列やハイパーデュアルナンバーへの拡張にも使える。

性質[編集]

基本的性質[編集]

斜面の角度を「斜度」と呼ぶことにする。また、「下から上を見上げたときの角度を「仰角」、「上から下を見ろした角度」を「俯角」という。数学的にいうと、座標原点の位置に目があって、x 軸の先の方を見たとすると水平が 0 で上(仰角)がプラスで下(俯角)がマイナスである。
まず角度が0,30,45,60,90°の時。
斜度が0°の斜面（傾いてはいないが）を１メートル進んでも、高低差は0である。よって0°のサインは0、コサインは1、タンジェントは0である。
斜度が30°の斜面を 1m 進むと、高低差は0.5mである。このときの水平移動距離は√3mである。よって30°のサインは0.5である。
斜度が45°の斜面を 1m 進むと、高低差は1/√2mである。このときの水平移動距離も1/√2mである。よって45°のタンジェントは1である。
60°・90°についても、同様に考えればよい。
これを数式で表現すると、
${\begin{aligned}\sin(0^{\circ })=0,\ \sin(30^{\circ })=0.5,\ \sin(45^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {2}}},\ \sin(60^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}},\ \sin(90^{\circ })=1\\\cos(0^{\circ })=1,\ \cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}},\ \cos(45^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {2}}},\ \cos(60^{\circ })=0.5,\ \cos(90^{\circ })=0\\\tan(0^{\circ })=0,\ \tan(30^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \tan(45^{\circ })=1,\ \tan(60^{\circ })={\sqrt {3}},\ \tan(90^{\circ })=\infty \end{aligned}}$
のようになる。
つーても、単位円の中の中の「長さ」でこちゃこちゃやっていると気が塞がるので x = 1 と x - 1 という直線を立てて、そこに「原点から単位円上の一点を通る半直線を引き、その x±1 の線との交点を使って“比”に直す」と考えたほうが解りがいい」という意見の人もいる。まぁ、好き勝手にやっていい。分母を１と考えるか逆数で考えるかだけの話ではあるし。

定理・公式など[編集]

各関数の周期性・対称性。

${\begin{aligned}\sin(x)&=-\sin(x+180^{\circ })=\sin(x+360^{\circ })=-\sin(-x)\\\cos(x)&=-\cos(x+180^{\circ })=\cos(x+360^{\circ })=\cos(-x)\\\tan(x)&=\tan(x+180^{\circ })=-\tan(-x)\end{aligned}}$

sinとcosの関係は、次の2つが特に重要。sinとcosは、並行移動の関係にあり、XY座標上でのグラフの形は同じである。

${\begin{aligned}&\sin(x)=\cos(x-90^{\circ })\\&\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\end{aligned}}$

角度の単位がいわゆる度（°）ではなくラジアンであれば、微分・積分との相性が非常に良い。三角関数の微分は、それぞれの単位の時に次の式であらわされる。

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\sin(x[rad])&=\cos(x)\\{\frac {\partial }{\partial x}}\cos(x[rad])&=-\sin(x)\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\sin(x[rad])&=-\sin(x)\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\cos(x[rad])&=-\cos(x)\\{\frac {\partial }{\partial x}}\sin(x[\circ ])&={\frac {\pi }{180}}\cos(x)\\{\frac {\partial }{\partial x}}\cos(x[\circ ])&=-{\frac {\pi }{180}}\sin(x)\end{aligned}}$

角度が0°付近の時に限って成り立つ近似式。角度の単位がラジアンである点に注意。

${\begin{aligned}\sin(x)&\approx x[rad]\\\cos(x)&\approx 1-{\frac {x[rad]^{2}}{2}}\\\tan(x)&\approx x[rad]\\\end{aligned}}$

逆三角関数[編集]

三角関数の逆関数をいう。よく使われるのは逆正接である。
とはいえ学校で教えられるの指導法が珍妙なので、「貴様らは本当に指導する気があるのか？」と思うほどひどい。猛省を促したい。
正接は tan(θ) であり、sin(θ)/cos(θ)である。この逆関数を tan^-1(θ)と書く奴が多い。もしもこれをJavaのメソッドで書くなら isArcTan(r) とか isArcTan(h) 書け。そうするとπ/4 = isArcTan(1) なので、π = 4 * isArcTan(1) となる。ただし、r または h が 1　に近いとめっさ収束が遅いので、なんとか引数を小さくしようと奮闘努力した結果が「マチンの公式」である。これを念頭に置いて三角関数を捉えなおすと、「なんでこういうことを高校の数学教師はちゃんと教えてくれなかったんだ orz」という話になる。tan(π/4) = tan(45°) = 1 で、これは直角二等辺三角形だというあたりから勉強しなおしてきてほしい。

よく使う定理[編集]

正弦定理
- 三角形の角度が全てわかっていて、1辺のみ長さが分かっている時に、残り2辺の長さを決定できる定理。「ヘロンの定理」などと関連する。
- 三角形の辺の長さが1つ分かっていて、2角が分かっている時に、合同条件が満たされるという定理。（二角夾辺）
- 幾何的な証明で使われることが多い。
余弦定理 - 三角形の合同条件とは密接に関係している。ただし二角夾辺は正弦定理を用いる。
- 三角形の辺の長さが3つ全て分かっている時に、角度を全て決定できる定理。（三辺合同）
- 三角形の辺の長さが2つ分かっていて、1角だけ角度が分かっている時に、辺の長さと角度を全て決定できる定理。（二辺夾角）
- 幾何的な証明で使われることが多が、ベクトルで代用できる。
加法定理
- $\sin(x+y),\ \cos(x+y)$ を、 $\sin(x),\ \sin(y),\ \cos(x),\ \cos(y)$ を用いて表す定理。
和積公式
- sin×sinといった三角関数の積と、sin＋sinといった三角関数の和・差を、相互に変換する公式。式が複雑で、覚えるのが大変だし、覚えなくても加法定理を覚えてれば、そこから芋づる式に導出できる。
オイラーの公式
- 三角関数と指数関数を相互に変換する式。実数ではなく、複素数の世界で成り立つ。

物理現象における三角関数[編集]

物理現象でしばしば表れる式、 ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x)=-\alpha \cdot f(x)$ を満たす関数は三角関数になる。なので、三角関数で記述することができる現象は多く、多くは振動や波動を伴う。

また、交流発電機の発生する電圧も三角関数である。家庭用コンセントに供給される電圧も同様で、時刻tを用いて次の式で表される。

$V={\sqrt {2}}V_{0}\sin(2\pi ft+\theta )$

$V_{0}$ を一般に実効電圧と呼び、日本では100[V]である。 $f$ を周波数と呼び、日本では60[Hz]または50[Hz]である。

三角関数不要論[編集]

教育史[編集]

三角関数は「測量や航法の基礎」として「実学」の一部であった。

旧学制では、日常生活で役に立つ内容は尋常小学校、高等小学校、青年学校（現在の小学生から中学校二年生にあたる）で学んでいた。
一方、旧制中学校（中学校三年生から大学一年生にあたる）ではエリート教育が行われており、この他には実業学校でも現在の専門高校に該当する教科を教えていた。三角関数は、軍事面で砲術や測量の基礎であり、現代社会においては振動や波動、交流送電網の電圧^{[注 2]}や電波といったあらゆる方面に出現するため、特に工学のみならず日常に関する多くの分野で必須の知識になっており、高校で学習する内容の中では比較的役に立つ方だといえる。
現在、三角関数を高校で学ぶのは、占領下の日本において、GHQ(米軍総司令部)の占領政策に由来するものである。

戦後における「三角関数不要論」の現状[編集]

高校で教えられる教育内容のなかには、「実社会に出たあとに、何の役に立っているのかという効果が実感しにくい」と論評されるものが少なからずある。
数ある科目のなかでも（古文・漢文に次いで）不要論の槍玉に上がりやすいのが、数学の三角関数である^{[注 3]}。「数学」全体ではなく「三角関数」だけが槍玉に上がりやすいのは、習得につまずいたコンプレックスを抱えている人が多いからであろう。高校の数学の内容のなかでは、「行列」が高校教育から放逐された。

1968年発表の高石ともやの楽曲『受験生ブルース』のなかには「サイン・コサイン何になる、オイラにゃオイラの夢がある」というフレーズが登場する。

政治家が「三角関数不要論」を口にすることも多い^{[注 4]}。2015年には鹿児島県知事の伊藤祐一郎が「高校で女の子にサイン、コサイン、タンジェントを教えて何になるのか」「植物の花とか草の名前を教えた方がいい」と発言して炎上している^{[注 5]}。

橋下徹もしばしば三角関数を槍玉に挙げる。

元素記号やサイン・コサイン・タンジェント、どこで使うの？使ったためしがない。勉強のできる人たちは“そういうのも教養だ”というが、今はインターネットで色々なことは調べられる — 乙武洋匡氏「教育改革のためには教員免許の”廃止”を！」橋下氏「大いにありだ」 - ABEMA TIMES]

三角関数なんか深く知らなくても人間的に立派な人、仕事を成功させている人、人生を謳歌している人たちはたくさんいる。むしろ、ここで三角関数は絶対に必要だ！　と喚き散らしている人たちよりも、仕事面でも、収入面でも、生活面でも人生充実していることの方が多いんじゃないか？ — 橋下徹"三角関数は絶対必要な知識なのか" - President Online

ライターのレジ―は「ファスト教養」の象徴的な存在として、橋下氏の姿勢を批判している。ファスト教養とは、「人生を豊かにするにはお金を稼げばいい、だからお金を稼ぐのに役に立つスキルだけ習得すればいい」という、非常に「合理的」な（しかし人間的なバランスを欠いた）近年流行の思考スタイルのことである。

2022年には日本維新の会所属の衆議院議員・藤巻健太が、財務金融委員会の場で「三角関数よりも金融経済を学ぶべきではないか^{[注 6]}」と発言して炎上した（炎上したツイート）。これは明らかに、橋下徹の思想に影響を受けたものであろう。X（Twitter）では「そもそも金融工学にも三角関数が必要なのだが・・・」などの反応が見られた。なお、本人は三角関数と三角比の違いもよく理解していなかったようである。この炎上により、藤巻は5ヶ月ほどX（Twitter）から姿を消した。

評価[編集]

「三角関数不要論」は的外れな指摘である。というのも、日常生活で役に立つ内容は義務教育である小中学校で学ぶものである。高校は将来の進路を見据え、社会に出ることを考えたうえでの、ある程度専門的な内容を学ぶ所である。三角関数に限らずあらゆる項目は、直接的には日常生活には役に立たない^{[注 7]}。

脚注[編集]

↑ 交流電圧を含む波動がその代表例である。
↑ ただし、電気工学では計算に簡便な複素数を使うことが多い。なお、複素数を視覚的に表現するにも、三角関数は欠かせない。
↑ 漢文の何十倍もこの世界の役に立っているだろ！いい加減にしろ！！
↑ 文化人でも三浦朱門が妻の曽野綾子の意向として、二次方程式の解の公式などを「実用的でない」として不要論を展開した。
↑ もっとも、この発言は「三角関数の軽視」というより「女性差別」のほうが燃えた主原因であるが。
↑ これも経済学が日本ではいわゆる公民寄りの文系の学問とされ、ノーベル経済学賞で重視される計量経済学が日本で軽視されている影響もあると思われる。
↑ とはいえ文語文法はそれなりに理解しておかないと、敬語も習得するのに手間がかかるし、詩歌も明治時代の文豪の作品も楽しめない。「私は誰に対してでもタメ口しか利かない」というのなら、それはそれで認めよう。ダンプ松本の例もあることだし。

三角関数

目次

概要[編集]

呼称・さまざまな定義[編集]