テイラー展開

テイラー展開とは、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を得る展開のことである。 得られる無限和(級数)をテイラー級数という。

概要

「ある一点」がaのとき、つまりaまわりのテイラー展開は以下の式になる。

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

ただし、収束域がある関数(収束域が有限の範囲である関数)は収束域の外では発散する。
また、1/(x-a)やlog(x-a)といったaで発散するような関数は、aまわりでテイラー展開できない。 このときは、ローラン展開という拡張されたテイラー展開を使用できる場合もある。 ただし、ローラン展開は複素周回積分や留数と関わっていてテイラー展開よりも難解である。

マクローリン展開

「ある一点」が0のとき、つまり0まわりのテイラー展開はマクローリン展開と呼ばれ、得られる級数をマクローリン級数という。その式は以下になる。

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

指数関数の和で表せる関数は総じて実数全体で収束するが、それらの逆関数は収束域が限られている。また、1/xやlog(x)といった原点で発散するような関数は、 マクローリン展開できない。
また、多項式のマクローリン展開は自分自身である(のでするまでもない)。

関数名	$f(x)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$	収束域
有理関数(等比数列の和)	${\frac {1}{1-x}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$	$|x|<1$
指数関数	$e^{x}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}$	$\mathrm {all} ~x$
余弦関数	$\cos x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$	$\mathrm {all} ~x$
正弦関数	$\sin x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$	$\mathrm {all} ~x$
非正規化sinc関数	$\operatorname {sinc} x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n}$	$\mathrm {all} ~x$
双曲線余弦関数	$\cosh x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}$	$\mathrm {all} ~x$
双曲線正弦関数	$\sinh x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$	$\mathrm {all} ~x$
誤差関数	$\operatorname {erf} x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {(-1)^{n}}{n!(2n+1)}}x^{2n+1}$	$\mathrm {all} ~x$
対数関数(1)	$\log(1-x)$	$-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}x^{n}$	$|x|<1$
対数関数(2)	$\log(1+x)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}$	$|x|<1$
逆余弦関数	$\cos ^{-1}x$	${\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$	$|x|<1$
逆正弦関数	$\sin ^{-1}x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$	$|x|<1$
逆正接関数	$\tan ^{-1}x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$	$|x|<1$
逆双曲線正弦関数	$\sinh ^{-1}x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$	$|x|<1$
逆双曲線正接関数	$\tanh ^{-1}x$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$	$|x|<1$

関連項目

• テイラーの定理
• ローラン展開