三角関数

三角関数(さんかくかんすう)とは、いわゆる初等関数のひとつであり、近現代では単位円を基礎としたものとして識者には理解されている。
「直角三角形の角度と辺の長さの関係に由来する」と説明されることが多いため、「三角関数」という名称が定着している。
単位円を考えるとまだしも理解しやすくなるため、「円函数」とでも呼んだ方がいいのではないかという話もある。また、原始バビロニア長方形から、「単位円上には無限個の有理点が存在する」ことが容易に（中学生にも理解できるように）証明できる。

概要

デカルト平面や複素平面などの直交座標系上の平面において、座標原点を中心とした単位円を考える。
そうすると、単位円の周上の任意の点について、直角三角形を考えることができる。そこで、その直角三角形の三辺の長さに着目し、角度と辺の長さの比の関係を表現する関数のことを、三角関数と呼ぶ。
直角三角形の直角以外の角の角度は0°より大きく、90°より小さいが、三角関数はマイナスや360°以上も含めた全ての角度で定義されている。とはいえ、数値計算のうえでは、45°まで求まれば、あとはなんとかなる。
単に三角形の辺の比ではなく、複素平面や初等関数などの入口でもあり、応用範囲も広いので、いわゆる工業数学において重要視される。

種類

直角三角形$AOB$で、$\angle O=90^{\circ },\ \angle A=x$とする。$AO,OB,AB$の辺の長さをそれぞれ$l,m,n$とした時、2辺の長さの比は6種類が定義できる。それぞれ、正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)、余接(cot)、正割(sec)、余割(csc)と呼ぶ。

${\begin{aligned}\sin(x)&=m/n\\\cos(x)&=l/n\\\tan(x)&=m/l\\\cot(x)&=l/m\\\sec(x)&=n/l\\\csc(x)&=n/m\end{aligned}}$

上から下にいくにつれて、使用頻度が低くなる。sin,cosは振動・波動を伴うあらゆる分野で頻繁に出現する一方、tanは使う場面がかなり限られる。cotはtanの逆数で、さらに使用頻度が低いが、鉄道分岐器に使用する。これによって〇番ポイントという。
sec,cscに至っては滅多に使うことが無く、学校でも習わない。
とはいえ arctan（逆正接）は裏方ながら重用されており、これを十分な精度で計算できるプログラマーはプログラマの中でもごく少数である。

なおsin,cos,tanは、それぞれラテン語のsinus, cosinus, tangereに由来している。日本では、それぞれの英語名称である、sine（サイン）、cosine（コサイン）、tangent（タンジェント）で呼ぶことが多い。

実数・複素数全体での定義

XY座標上に、$A$を原点$(0,0)$にとり、$O(1,0)$とする。ここで$B$が$O$を出発して、$A$を中心とした半径1の円上を反時計回りに$x^{\circ }$動いた時の$B$の座標を、$(x,y)=(\cos(x),\ \sin(x))$とする。この定義は、90度未満では上記直角三角形の三角比と同じものであり、さらに正の実数全体に対してsin,cosを決定することができる。回る方向を反時計周りから時計回りにすることで、負の実数についても定義ができる。

さらには、実数のみならず、複素数に対して定義することも可能。この時は、三角関数を、複素数でも使えるが実数の場合と矛盾しない様に定義し直す必要がある。

性質

基本的性質

斜面の角度を「斜度」と呼ぶことにする。
まず角度が0,30,45,60,90°の時。
斜度が0°の斜面（傾いてはいないが）を１メートル進んでも、高低差は0である。よって0°のサインは0、コサインは1、タンジェントは0である。
斜度が0°の斜面（傾いてはいないが）を１メートル進んでも、高低差は0である。よって0°のサインは0、コサインは1、タンジェントは0である。
斜度が30°の斜面を 1m 進むと、高低差は0.5mである。このときの水平移動距離は√3mである。よって30°のサインは0.5である。
斜度が45°の斜面を 1m 進むと、高低差は1/√2mである。このときの水平移動距離も1/√2mである。よって45°のタンジェントは1である。
60°・90°についても、同様に考えればよい。
これを数式で表現すると、
${\begin{aligned}\sin(0^{\circ })=0,\ \sin(30^{\circ })=0.5,\ \sin(45^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {2}}},\ \sin(60^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}},\ \sin(90^{\circ })=1\\\cos(0^{\circ })=1,\ \cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}},\ \cos(45^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {2}}},\ \cos(60^{\circ })=0.5,\ \cos(90^{\circ })=0\\\tan(0^{\circ })=0,\ \tan(30^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \tan(45^{\circ })=1,\ \tan(60^{\circ })={\sqrt {3}},\ \tan(90^{\circ })=\infty \end{aligned}}$
のようになる。

定理・公式など

各関数の周期性・対称性。

${\begin{aligned}\sin(x)&=-\sin(x+180^{\circ })=\sin(x+360^{\circ })=-\sin(-x)\\\cos(x)&=-\cos(x+180^{\circ })=\cos(x+360^{\circ })=\cos(-x)\\\tan(x)&=\tan(x+180^{\circ })=-\tan(-x)\end{aligned}}$

sinとcosの関係は、次の2つが特に重要。sinとcosは、並行移動の関係にあり、XY座標上でのグラフの形は同じである。

${\begin{aligned}&\sin(x)=\cos(x-90^{\circ })\\&\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\end{aligned}}$

角度の単位がいわゆる度（°）ではなくラジアンであれば、微分・積分との相性が非常に良い。三角関数の微分は、それぞれの単位の時に次の式であらわされる。

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\sin(x[rad])&=\cos(x)\\{\frac {\partial }{\partial x}}\cos(x[rad])&=-\sin(x)\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\sin(x[rad])&=-\sin(x)\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\cos(x[rad])&=-\cos(x)\\{\frac {\partial }{\partial x}}\sin(x[\circ ])&={\frac {\pi }{180}}\cos(x)\\{\frac {\partial }{\partial x}}\cos(x[\circ ])&=-{\frac {\pi }{180}}\sin(x)\end{aligned}}$

角度が0°付近の時に限って成り立つ近似式。角度の単位がラジアンである点に注意。

${\begin{aligned}\sin(x)&\approx x[rad]\\\cos(x)&\approx 1-{\frac {x[rad]^{2}}{2}}\\\tan(x)&\approx x[rad]\\\end{aligned}}$

よく使う定理

• 正弦定理
  • 三角形の角度が全てわかっていて、1辺のみ長さが分かっている時に、残り2辺の長さを決定できる定理。
• 余弦定理
  • 三角形の辺の長さが3つ全て分かっている時に、角度を全て決定できる定理。
  • 三角形の辺の長さが2つ分かっていて、1角だけ角度が分かっている時に、辺の長さと角度を全て決定できる定理。
• 加法定理
  • $\sin(x+y),\ \cos(x+y)$を、$\sin(x),\ \sin(y),\ \cos(x),\ \cos(y)$を用いて表す定理。
• 和積公式
  • sin×sinといった三角関数の積と、sin＋sinといった三角関数の和・差を、相互に変換する公式。式が複雑で、覚えるのが大変。
• オイラーの公式
  • 三角関数と指数関数を相互に変換する式。実数ではなく、複素数の世界で成り立つ。
• マチンの公式
  • 円周率πを効率よく求めるために用いられ、コンピュータのハードウェアの性能評価の参考とされる。

物理現象における三角関数

物理現象でしばしば表れる式、${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x)=-\alpha \cdot f(x)$を満たす関数は三角関数になる。なので、三角関数で記述することができる現象は多く、多くは振動や波動を伴う。

また、交流発電機の発生する電圧も三角関数である。家庭用コンセントに供給される電圧も同様で、時刻tを用いて次の式で表される。

$V={\sqrt {2}}V_{0}\sin(2\pi ft+\theta )$

$V_{0}$を振幅と呼び、日本では100[V]である。$f$を周波数と呼び、日本では60[Hz]または50[Hz]である。

その他

高校における数学教育において暗記させられる公式の多さから、「三角関数なんて役に立つの？学ぶ必要あるの？」という声が上がっている。「サイン・コサイン何になる、オイラにゃオイラの夢がある」「女子には三角関数の公式よりも、花の名前でもおぼえたほうがいい」(鹿児島県知事)といった話もあり、「高校教育の大きな山場」とされているが、これは単に高校の数学教師の不勉強と怠慢を言いつくろって責任転嫁しているだけの話でしかない。
これは的外れな指摘であり、これは米国の政策に由来するものである。旧学制では、日常生活で役に立つ内容は尋常小学校、高等小学校、青年学校（現在の小学生から中学校二年生にあたる）で学んでいる。一方、旧制中学校（中学校一年生から高校二年生にあたる）ではエリート教育が行われており、三角関数は「測量や航法の基礎」として「実学」の一部であった。この他には実業学校でも現在の専門高校に該当する教科を教えていた。三角関数は、砲術や測量の基礎であり、現代社会においては振動や波動、交流送電網の電圧や電波といったあらゆる方面に出現するため、特に工学のみならず日常に関する多くの分野で必須の知識になっており、高校で学習する内容の中では比較的役に立つ方だと謂える（少なくとも、選挙権を持つ資格のひとつである）。
なお、複素数まで考えると、三角函数と指数函数と対数函数は統合できて、制禦工学（サイバネティクス）の分野における安定性の理論においてはこれが一般的である。「振動するなら三角函数、発散するなら指数函数、収束するなら対数函数」あたりが第一歩となる。

関連項目

• 1の余弦 / 1の正弦 / 1の正接
• 交流
• 三相交流
• 測量
• 電気工学
• 土木工学
• 複素数
• 関数電卓