行列

行列とは、ベクトルからベクトルへの線形写像を、数字の並びで表したものである。

概要

以下の様な、掛け算・足し算・引き算だけで成り立つ連立方程式を考える。

${\begin{cases}Y_{1}=a_{11}X_{1}+a_{12}X_{2}+a_{13}X_{3}\\Y_{2}=a_{21}X_{1}+a_{22}X_{2}+a_{23}X_{3}\\Y_{3}=a_{31}X_{1}+a_{32}X_{2}+a_{33}X_{3}\\Y_{4}=a_{41}X_{1}+a_{42}X_{2}+a_{43}X_{3}\end{cases}}$

この式は、多くの変数が複雑に絡み合っている。これを、次の様に書くと、係数と変数が分離できる他、書く手間も減らすことができる。

${\begin{pmatrix}Y_{1}\\Y_{2}\\Y_{3}\\Y_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}$

この、一個一個の括弧で区切られたものを「行列」と呼び、特に一列あるいは一行の行列のことを「ベクトル」と呼ぶ。この式を改めて$Y=A\cdot X$と書いた時、Aは4行3列の行列で、3次元ベクトルを入力、4次元ベクトルを出力とする関数ともみなせる。なお、ここでは4行3列の例で示したが、他の次元でも同様の考え方を用いることができる。

この行列、ベクトルを一つの数の様に扱い、深掘りしていく学問を線形代数学と呼ぶ。

行列の演算

足し算・引き算

行列A,Bの足し算・引き算は、以下の式が成り立つ様に定める。

$(A\pm B)\cdot X=A\cdot X\pm B\cdot X$

足し算・引き算は、2つの行列が同じサイズの時にだけ、次の様に定義できる。単純に、全ての項を足し算、引き算するだけである。

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\b_{41}&b_{42}&b_{43}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33}\\a_{41}+b_{41}&a_{42}+b_{42}&a_{43}+b_{43}\end{pmatrix}}$

掛け算

行列A,Bの掛け算は、以下の式が成り立つ様に定める。

$(A\cdot B)\cdot X=A\cdot (B\cdot X)$

掛け算は、足し算と違って複雑である。Aの列の数と、Bの行の数が同じ時に定義でき、計算の仕方も次に示す様な形となる。

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}+a_{33}\cdot b_{31}&a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}+a_{33}\cdot b_{32}\\a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}+a_{43}\cdot b_{31}&a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}+a_{43}\cdot b_{32}\end{pmatrix}}$

掛け算は、交換法則、即ち$A\cdot B=B\cdot A$が成り立たないので注意。

同じ行列をn回掛けるときに、各成分がどうなるかを表現できればn乗を求められる。

n乗を求められるならば、テイラー展開した式に代入することで、引数が行列の指数関数や三角関数も定義できる。

割り算

行列A,Bの割り算は、以下の式が成り立つ様に定める。

$(A/B)\cdot B=A$

割り算は、割られる側（上の式だとB）が、正方行列（行の数と列の数が同じ）でかつ、後述の特殊な条件を満たす関数でなければ定義できない。この条件を満たす行列のことを、正則行列と呼ぶ。

行列A,Bが次の式を満たす時、Aの逆行列がB、Bの逆行列がAである、と言う。ここで一番右側の、対角線上に1が並び他が全て0になる行列のことを、単位行列と呼ぶ。

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

正方行列

行の数と列の数が同じ行列のことを、正方行列と呼ぶ。正方行列は、入力・出力も同じ次元のベクトルとなる線形写像を、数字の並びで表したものである。

正方行列で、以下の様な式を満たす複素数r、ベクトルVの組が存在することがある（ただしVはゼロベクトル、即ち全ての元が0となるベクトルでは無い）。

$A\cdot V=r\cdot V$

この時、Vを固有ベクトル、rを固有値と呼ぶ。一般的に、N次元の行列は最大でN個の固有値を持ち、固有ベクトルを最大N方向分持つ。0を固有値として持たない行列を正則行列と呼ぶ。

例えば、行列

$A={\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&0\\-1&1&3\end{pmatrix}}$

は、$v_{1}=(1,1,0),\ v_{2}=(1,0,1),\ v_{3}=(0,0,1)$を固有ベクトルとして持ち、対応する固有値は順に$e_{1}=1,\ e_{2}=2,\ e_{3}=3$である。この時、次の様に、元の行列に固有ベクトルからなる行列、およびその逆行列を掛ける演算を行うと、対角線だけに数字が並ぶ行列に変化させることができる。

${\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}^{-1}\cdot A\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e_{1}&0&0\\0&e_{2}&0\\0&0&e_{3}\end{pmatrix}}$

具体的に数字を入れると以下の様になる。

${\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&0\\-1&1&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$

この操作のことを、対角化と呼ぶ。対角化は、全ての正方行列で可能ではなく、対角化できるケースとできないケースがある。

関連項目

• 代数学

脚注

注