三角関数の加法定理(かほうていり)とは、三角関数どうしの加法(足し算)と減法(引き算)に関する定理である。
符号は全て複号同順。±と∓は上なら上、下なら下で等号が成り立つ。
![{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688e4fe762bb0dfcf7fa3c7e5517a208ed0ae993)
![{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde27654b87805940cfef57359d550d843c7abba)
![{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aea6e82e73f85b045ad1241c313d2e04635f6a9)
cot, sec, csc に関する式は以下の通り。あまりきれいな形にはならず、エンペディア読者にこれらを使う人はあまりいないと思われるが、鉄道分岐器に使うので参考までに記載しておく。
![{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17612d848e625f644a9f09133bfbd8a87bf5f7d0)
![{\displaystyle \sec(x\pm y)={\frac {\sec x\sec y\csc x\csc y}{\csc x\csc y\pm \sec x\sec y}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7297fdd7b79aa7e0629a66a00129039fb18504ff)
![{\displaystyle \csc(x\pm y)={\frac {\sec x\sec y\csc x\csc y}{\sec x\csc y\mp \csc x\sec y}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765bfea0eddf9848d9291dc8a97459d0408ef6e6)
倍角公式[編集]
加法定理から、以下の公式が簡単に導出できる。
2倍角の公式[編集]
y = x と代入し整理するだけで以下の公式が導かれる。
![{\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346c7a8fd9649fa307094aabd159f362a5a271db)
![{\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a280523586774377080da5910e8c056b57307f)
![{\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b997c282c4ea9e16db0d1d4aa4d6b86df809dd)
3倍角の公式[編集]
y = 2x とし、さらに2倍角の公式も用いて整理することにより以下の公式が導かれる。
![{\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617e32b3f98d83f5baaaacbf2ea995a02b98240e)
![{\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7326ed2f260bf253e2e478c3b8f10d2b4b7a7ba8)
![{\displaystyle \tan 3x={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4072af0ad3143eed2160e7ddae154add274fb1)
同様に 4倍角の公式、5倍角の公式、…… なども導けるが、導出が簡単なうえに使用する場面はほとんどないため、覚える必要はほとんどない。
計算問題で sin7x や cos7x を含む数式を見ても「7倍角の公式なんて知らない!無理!(>_<)」などと慌てる必要はない。倍角公式を使わない別の方法がきっとあるはずである。
半角公式[編集]
2倍角の公式より、 cos 2x を sin2 x , cos2 x , tan2 x のみで表すことができることから、 2x を x と置きなおして整理することにより以下の公式が得られる。
![{\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b4db6a24997f8137706fe9f1be66fa45794141)
![{\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b114485d75314aeea043b6ec17ab8292dbce1651)
![{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6e90e67de2ee6e0407eabe960c0859263a737a)
覚え方[編集]
sinとcosに関する2つの式については、以下の覚え方が有名である。
- 咲いたコスモス コスモス咲いた
- コスモスコスモス 咲かない咲かない
sinを「咲く」、cosを「コスモス」、符号が逆になる部分を「ない」で表現している。
これ以外にも覚え方はたくさんある。sinとcosを別の文字列に置き換えるものが多く、小林(cos)幸子(sin)や埼玉県(sin)越谷市(cos)が登場したり、死んだり(sin)殺したり(cos)、性的表現をふんだんに使用したりとバリエーションは尽きない模様[1]。あと、「しんこすこすしん、こすこすしんしん」という力技の覚え方もある。[2]
3倍角のsinについては、「3番三振、4番3三振」と覚えることも可能である。
ここでは高校の教科書に載っている一般的な方法で証明を行う。まず余弦定理を用いて
に関する式を証明し、三角関数の相互関係より他の式も導く。
単位円上に2点
をとる。2点間の距離の公式より、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {AB^{2}}}&=(\cos \alpha -\cos \beta )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}\\&=2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc06bbce7556b828b65b520b676ee89ddb803c5)
三角形OABに余弦定理を用いると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {AB^{2}}}&={\rm {OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos \angle {\rm {AOB}}}}\\&=1^{2}+1^{2}-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos \angle {\rm {AOB}}\\&=2-2\cos \angle {\rm {AOB}}\end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554ab092177769f3b96eb70f106a8c7b9ecd31a8)
以上の2式を等号で結び、さらに整理すると以下の式が得られる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}2-2\cos \angle {\rm {AOB}}&=2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \\\cos \angle {\rm {AOB}}&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287340281053a7d18730ea2cd2365d215aaa8843)
ここで、
または
であるが、
であるため、どちらの場合でも
が成り立つ。よって、
![{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ~~~~\cdots (1)}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef255ed8113e2578640a4abbd772fc8d56fb992)
(1)式と三角関数の関係式より、その他の加法定理の公式も導ける。(複号は同順とする)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\cos\{\alpha -(-\beta )\}\\&=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )\\&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha (-\sin \beta )\\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ~~~~\cdots (2)\end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da30e8666ffb1b91cf9a04add5e0e8769571d84)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\cos\{90^{\circ }-(\alpha \pm \beta )\}\\&=\cos\{(90^{\circ }-\alpha )\mp \beta \}\\&=\cos(90^{\circ }-\alpha )\cos \beta \mp \sin(90^{\circ }-\alpha )\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta \mp (-\cos \alpha )\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ~~~~\cdots (3),(4)\end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78612f02895eacf00dee7d725fa397785c28ac10)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&=\sin(\alpha \pm \beta )/\cos(\alpha \pm \beta )\\&=(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta )/(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta )\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\bigg /}{\frac {\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\&=\left({\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\right){\bigg /}\left(1\mp {\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\right)\\&=(\tan \alpha \pm \tan \beta )/(1\mp \tan \alpha \tan \beta )~~~~\cdots (5),(6)\end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050c70775c2735ed9b4c123034c4febfa9d21fc3)
複素数と絡めた解釈[編集]
高校数学の範囲外だが、オイラーの公式
を使うと、加法定理は指数法則に従い、容易に導き出せる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )&=e^{i(\alpha +\beta )}\\&=e^{i\alpha }e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\\end{aligned}}}](https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee2728ac374e0aff7725de7f81563943da9ee75)
より、実部と虚部を取れば導くことができる。
- ↑ これに限らず、数学は何かしらの覚え方をマスターしておくべきである。(私論)
- ↑ この場合、tanについても「いちひくたんたんたんたすたん」と覚えられる。
関連項目[編集]