加法定理 (三角関数)

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三角関数加法定理(かほうていり)とは、三角関数どうしの加法(足し算)と減法(引き算)に関する定理である。

公式[編集]

符号は全て複号同順。±と∓は上なら上、下なら下で等号が成り立つ。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan (x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}}

cot, sec, csc に関する式もあるが、エンペディア読者にこれらを使う人はあまりいないと思われるので、数学書やウィキペディアを参照あれ。

倍角公式[編集]

加法定理から、以下の公式が簡単に導出できる。

2倍角の公式[編集]

y = x と代入し整理するだけで以下の公式が導かれる。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}}

3倍角の公式[編集]

y = 2x とし、さらに2倍角の公式も用いて整理することにより以下の公式が導かれる。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}}

同様に 4倍角の公式、5倍角の公式、…… なども導けるが、導出が簡単なうえに使用する場面はほとんどないため、覚える必要はほとんどない。

半角公式[編集]

2倍角の公式より、 cos 2x を sin2 x , cos2 x , tan2 x のみで表すことができることから、 2x を x と置きなおして整理することにより以下の公式が得られる。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x}}

覚え方[編集]

sinとcosに関する2つの式については、以下の覚え方が有名である。

  • 咲いたコスモス コスモス咲いた
  • コスモスコスモス 咲かない咲かない

sinを「咲く」、cosを「コスモス」、符号が逆になる部分を「ない」で表現している。

これ以外にも覚え方はたくさんある。sinとcosを別の文字列に置き換えるものが多く、小林(cos)幸子(sin)や埼玉県(sin)越谷市(cos)が登場したり、死んだり(sin)殺したり(cos)、性的表現をふんだんに使用したりとバリエーションは尽きない模様。[1]

証明[編集]

ここでは高校の教科書に載っている一般的な方法で証明を行う。まず余弦定理を用いて 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(\alpha - \beta)} に関する式を証明し、三角関数の相互関係より他の式も導く。

単位円上の2点.png

単位円上に2点 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rm A(\cos\alpha, \sin\alpha), \rm B(\cos\beta, \sin\beta)} をとる。2点間の距離の公式より、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \rm AB^2 &= (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 \\ &= 2 - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta \end{align}}

三角形OABに余弦定理を用いると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \rm AB^2 &= \rm OA^2 + OB^2 - 2 OA \cdot OB \cos\angle\rm AOB \\ &= 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\angle\rm AOB \\ &= 2 - 2\cos\angle\rm AOB \end{align}}

以上の2式を等号で結び、さらに整理すると以下の式が得られる。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} 2 - 2\cos\angle\rm AOB &= 2 - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta \\ \cos\angle\rm AOB &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \end{align}}

ここで、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle\rm AOB = \alpha - \beta} または 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \angle\rm AOB = \beta - \alpha} であるが、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(\alpha - \beta) = \cos(\beta - \alpha)} であるため、どちらの場合でも 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos\angle\rm AOB = \cos(\alpha - \beta)} が成り立つ。よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta ~~~~\cdots (1)}

(1)式と三角関数の関係式より、その他の加法定理の公式も導ける。(複号は同順とする)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \cos(\alpha + \beta) &= \cos\{\alpha - (-\beta)\} \\ &= \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) \\ &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha(-\sin\beta) \\ &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta ~~~~\cdots (2) \end{align}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \sin(\alpha \pm \beta) &= \cos\{90^\circ - (\alpha \pm \beta)\} \\ &= \cos\{(90^\circ - \alpha) \mp \beta\} \\ &= \cos(90^\circ - \alpha)\cos\beta \mp \sin(90^\circ - \alpha)\sin\beta \\ &= \sin\alpha\cos\beta \mp (-\cos\alpha)\sin\beta \\ &= \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta ~~~~\cdots (3), (4) \end{align}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \tan(\alpha \pm \beta) &= \sin(\alpha \pm \beta) / \cos(\alpha \pm \beta) \\ &= (\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta) / (\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta) \\ &= \frac{\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} \bigg/ \frac{\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} \\ &= \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \pm \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) \bigg/ \left(1 \mp \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}\right) \\ &= (\tan\alpha \pm \tan\beta) / (1 \mp \tan\alpha\tan\beta) ~~~~\cdots (5), (6) \end{align}}

脚注[編集]

  1. これに限らず、数学は何かしらの覚え方をマスターしておくべきである。(私論)

関連項目[編集]