加法定理 (三角関数)

三角関数の加法定理（かほうていり）とは、三角関数どうしの加法（足し算）と減法（引き算）に関する定理である。

公式

符号は全て複号同順。±と∓は上なら上、下なら下で等号が成り立つ。

$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}$

cot, sec, csc に関する式は以下の通り。あまりきれいな形にはならず、エンペディア読者にこれらを使う人はあまりいないと思われるが、鉄道分岐器に使うので参考までに記載しておく。

$\cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}$

$\sec(x\pm y)={\frac {\sec x\sec y\csc x\csc y}{\csc x\csc y\pm \sec x\sec y}}$

$\csc(x\pm y)={\frac {\sec x\sec y\csc x\csc y}{\sec x\csc y\mp \csc x\sec y}}$

倍角公式

加法定理から、以下の公式が簡単に導出できる。

2倍角の公式

y = x と代入し整理するだけで以下の公式が導かれる。

$\sin 2x=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}$

3倍角の公式

y = 2x とし、さらに2倍角の公式も用いて整理することにより以下の公式が導かれる。

$\sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x$

$\cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x$

$\tan 3x={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}$

同様に 4倍角の公式、5倍角の公式、…… なども導けるが、導出が簡単なうえに使用する場面はほとんどないため、覚える必要はほとんどない。

計算問題で sin7x や cos7x を含む数式を見ても「7倍角 ()の公式なんて知らない！無理！(>_<)」などと慌てる必要はない。倍角公式を使わない別の方法がきっとあるはずである。

半角公式

2倍角の公式より、 cos 2x を sin² x , cos² x , tan² x のみで表すことができることから、 2x を x と置きなおして整理することにより以下の公式が得られる。

$\sin {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}$

$\cos {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$

$\tan {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}$

覚え方

sinとcosに関する2つの式については、以下の覚え方が有名である。

• 咲いたコスモス コスモス咲いた
• コスモスコスモス 咲かない咲かない

sinを「咲く」、cosを「コスモス」、符号が逆になる部分を「ない」で表現している。

これ以外にも覚え方はたくさんある。sinとcosを別の文字列に置き換えるものが多く、小林（cos）幸子（sin）や埼玉県（sin）越谷市（cos）が登場したり、死んだり（sin）殺したり（cos）、性的表現をふんだんに使用したりとバリエーションは尽きない模様。あと、「しんこすこすしん、こすこすしんしん」という力技の覚え方もある。

3倍角のsinについては、「3番三振、4番3三振」と覚えることも可能である。

証明

ここでは高校の教科書に載っている一般的な方法で証明を行う。まず余弦定理を用いて $\cos(\alpha -\beta )$ に関する式を証明し、三角関数の相互関係より他の式も導く。

単位円上に2点 ${\rm {A(\cos \alpha ,\sin \alpha ),{\rm {B(\cos \beta ,\sin \beta )}}}}$ をとる。2点間の距離の公式より、

${\begin{aligned}{\rm {AB^{2}}}&=(\cos \alpha -\cos \beta )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}\\&=2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

三角形OABに余弦定理を用いると、

${\begin{aligned}{\rm {AB^{2}}}&={\rm {OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos \angle {\rm {AOB}}}}\\&=1^{2}+1^{2}-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos \angle {\rm {AOB}}\\&=2-2\cos \angle {\rm {AOB}}\end{aligned}}$

以上の2式を等号で結び、さらに整理すると以下の式が得られる。

${\begin{aligned}2-2\cos \angle {\rm {AOB}}&=2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \\\cos \angle {\rm {AOB}}&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

ここで、 $\angle {\rm {AOB=\alpha -\beta }}$ または $\angle {\rm {AOB=\beta -\alpha }}$ であるが、 $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\beta -\alpha )$ であるため、どちらの場合でも $\cos \angle {\rm {AOB=\cos(\alpha -\beta )}}$ が成り立つ。よって、

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ~~~~\cdots (1)$

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(1)式と三角関数の関係式より、その他の加法定理の公式も導ける。（複号は同順とする）

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\cos\{\alpha -(-\beta )\}\\&=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )\\&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha (-\sin \beta )\\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ~~~~\cdots (2)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\cos\{90^{\circ }-(\alpha \pm \beta )\}\\&=\cos\{(90^{\circ }-\alpha )\mp \beta \}\\&=\cos(90^{\circ }-\alpha )\cos \beta \mp \sin(90^{\circ }-\alpha )\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta \mp (-\cos \alpha )\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ~~~~\cdots (3),(4)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&=\sin(\alpha \pm \beta )/\cos(\alpha \pm \beta )\\&=(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta )/(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta )\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\bigg /}{\frac {\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\&=\left({\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\right){\bigg /}\left(1\mp {\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\right)\\&=(\tan \alpha \pm \tan \beta )/(1\mp \tan \alpha \tan \beta )~~~~\cdots (5),(6)\end{aligned}}$

複素数と絡めた解釈

高校数学の範囲外だが、オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ を使うと、加法定理は容易に導き出せる。

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )&=e^{i(\alpha +\beta )}\\&=e^{i\alpha }e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\\end{aligned}}$

より、実部と虚部を取れば導くことができる。

関連項目

• 咲いたコスモス コスモス咲いた - 覚え方の語呂合わせをタイトルに使った漫画作品
• tan1°は有理数か。 - 2006年京都大学の有名な入試問題。有理数でないことは加法定理を用いて証明することができる。
• 交流
• 電気回路