積分

積分(せきぶん)とは、数学において、細かく分かれたものを足し合わせていくことである。いわば、高級な足し算・掛け算である。

概要

例えば、列車に乗っていて、スピードメーターを見ながら列車の走行距離を推定することを考える。1時間毎に見たメーターの値が105km/h, 82km/h, 90km/hであれば、3時間で105+82+90=277kmぐらい走っただろうと推定される。

これをもっと正確に知りたい場合、時間刻みを細かくすることが考えられる。例えば10分毎にメーターを見て、結果を足し算した場合、より正確に走行距離を求めることができる。できれば、1分、10秒、1秒、0.1秒・・・とメーターを見る間隔を無限に小さくしていきたい。時間間隔を無限に小さくして、スピードメーターの各瞬間の値から素行距離を求めること、これが積分である。

積分には、定積分と不定積分の2種類がある。定積分はさらに種類が多く、線積分や面積分といったものもある。

定微分

一番オーソドックスなもの。例えばxをaからbまでといった風に、ある決まった区間で積分を行うもの。定義は様々な種類があるが、例えば（正確性には欠けるが）以下の様なイメージで考えることができる。これは、aからbまでを$\Delta x$間隔で区切り、区切ったx毎に$f(x)$を求め、足し合わせているものである。

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum _{t=0}^{(b-a)/\Delta x}f(a+t\Delta x)\cdot \Delta x\end{aligned}}$

積分の計算は、微分の逆演算と考えて行う。積分と微分の間には、次の様な関係式が成り立ち、これを微分積分学の基本定理と呼ぶ。

${\begin{aligned}f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(x)dx\end{aligned}}$

主な関数の定積分は次の通り。なお、$e$は自然対数（2.71828・・・）を表し、三角関数の角度の単位はラジアンとする。

${\begin{aligned}&f(x)=0&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(x)dx=0\\&f(x)=1&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(x)dt=b-a\\&f(x)=x^{n}&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)dt={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}\\&f(x)=e^{x}&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)dt=e^{b}-e^{a}\\&f(x)=1/x&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)dt=\log |b|-\log |a|\\&f(x)=\sin(x)&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)dt=-\cos(b)+\cos(a)\\&f(x)=\cos(x)&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)dt=\sin(b)-\sin(b)\\&f(x)=k\cdot g(x)&&\Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)dt=k\cdot \int _{a}^{b}g(t)dt\end{aligned}}$

なお、積分記号の後ろにつけるdxは、微分形式と呼ばれるものである。微分形式は、正確には実はベクトルから$x$座標の値を返す写像であるが、基本的には積分に使う変数とみなして問題無い。積分の中身は、微分形式の形になっている必要がある。

不定積分

微分の逆演算そのもの。微分したら元に戻る関数、即ち原始関数を求めるのが不定積分である。そのため、不定積分と微分の間には次の様な関係が成り立つ。

${\begin{aligned}f(x)=\int f'(x)dx\end{aligned}}$

ちょうど、定積分の所で記した「aからbまでの区間の定積分」で、aの項を無視したのが不定積分である。主な関数の不定積分は次の通り。

${\begin{aligned}&f(x)=0&&\Rightarrow \int f(x)dx=C\\&f(x)=1&&\Rightarrow \int f(x)dt=x+C\\&f(x)=x^{n}&&\Rightarrow \int f(t)dt={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\\&f(x)=e^{x}&&\Rightarrow \int f(t)dt=e^{x}+C\\&f(x)=1/x&&\Rightarrow \int f(t)dt=\log |x|+C\\&f(x)=\sin(x)&&\Rightarrow \int f(t)dt=-\cos(x)+C\\&f(x)=\cos(x)&&\Rightarrow \int f(t)dt=\sin(x)+C\\&f(x)=k\cdot g(x)&&\Rightarrow \int f(t)dt=k\cdot \int g(t)dt+C\end{aligned}}$

不定積分の特徴として、積分した結果に$+C$の項が追加されている。これは積分定数と呼ばれる。不定積分は、結果が一つに決まらず、例えばすべての定数関数の微分が0になるので、$f(x)=0$の不定積分は全ての定数関数としなければならない。そのため不定積分は、「積分した結果」＋「任意の定数関数」という形で表現され、この定数関数部分をCという記号で置くことが多い。

全体的に、積分するとより難しい関数になる傾向があるが、指数関数や三角関数の場合、積分してもさほど難しくならない。そのため、積分しやすい関数として重宝されている。一方、不定積分の逆演算である微分だと、関係が逆になり、指数関数・三角関数以外ではたいてい簡単な関数になる。

置換積分、線積分

積分の後ろについているdxをうまく利用し、合成関数の積分を行うこと。例えば、変数$y$を、$y=g(x)$で置換したとすると、次の様な式が成り立つことになる。

$\int f(y)dy=\int f(g(x))\cdot {\frac {dy}{dx}}dx=\int f(g(x))g'(x)dx$

これを使うと、例えば平面上の曲線上で積分する、といったことも可能である。これを線積分と呼ぶ。例えば、$L:t\to (x_{t},y_{t})$を平面上の曲線とした時、次の様な積分を考えることができる。

${\begin{aligned}\int _{L}f(x,y)dx=\int _{0}^{1}f(x_{t},y_{t})x'(t)dt\\\int _{L}f(x,y)dy=\int _{0}^{1}f(x_{t},y_{t})y'(t)dt\end{aligned}}$

ここで、線積分の場合、仮にLの起点・終点が同じでも、0になるとは限らない点に注意する必要がある。例えば半径1の円、$L:t\to (\cos 2\pi t,\ \sin 2\pi t)$上で次の様な線積分を考えると、起点から終点まで一周しているのに0にならない。

${\begin{aligned}\int _{L}ydx=\int _{0}^{1}\sin 2\pi t\cdot (-2\pi \sin 2\pi t)dt=-\pi \\\end{aligned}}$

また、空間上の曲面に対する積分、即ち面積分を考えることも可能である。

用途

運動方程式やマクスウェル方程式など、微分方程式で表される物理現象・経済現象の多くを解くのに、積分およびその逆演算である微分がよく用いられる。理工系はもちろん、経済学などでも必須のアイテムである。

そのため微分・積分は、高校数学の中で最も応用範囲の広い単元であるとも言える。一方で、最も難しい単元で、中でも積分は特に難しいという側面もあり、高校数学の最大の山場であると言っていい。

関連項目

• 微分方程式
• 微分
• 解析学