四則演算

四則演算(しそくえんざん)あるいは四則計算(しそくけいさん)とは、最も基本的な4種類の二項演算のことである。

概要

二つの数を入力とし、何らかの出力を行う計算のことを二項演算のと呼ぶが、その中で最も基本的な二項演算、足し算・引き算・掛け算・割り算のことを四則演算と呼ぶ。

自然数の四則演算

足し算（和）

自然数の並び1,2,3,・・・の中で、AのB個先の数のことをA+Bとあらわす。例えば、3の2個先の数は5なので、3+2=5である。足し算は、交換法則（A+B=B+A）、結合法則（(A+B)+C = A+(B+C)）を満たす。

引き算（差）

B+X=AとなるXを、AとBから求める計算。このXの計算を引き算と呼び、X=A-Bと書く。自然数の場合、AはBより大きくなければいけない。

掛け算（積）

A+A+・・・+Aと、B個のAを足す計算。これを掛け算と呼び、A×B、あるいはA・BやABと書く。掛け算は、交換法則（A×B=B×A）、結合法則（(A×B)×C = A×(B×C)）を満たす他、足し算と合わせて分配法則（A×(B+C)=A×B+A×C）も満たす。

割り算（商）

B・X=AとなるXを、AとBから求める計算。このXの計算式を、X=A÷Bと書く。割り算は、できる場合とできない場合がある。ただし、できない場合でも、(A-Y)÷Bが計算できる様なY（<X）が通常は存在し、この時「A÷B = XあまりY」といった書き方をする。

広い範囲での四則演算

整数

整数は、自然数より範囲を広げて、引き算を自由にできる様にした世界である。整数は、自然数全てに加え、A+0=A、A×0=0となる様な「0」という数を含める。さらに、Aが整数であるなら、A+(-A)=0となる数-Aも用意し、整数に含める。ここで、A-B = A+(-B)と同じとなる。この上で、自然数での四則演算の概念は、交換法則・結合法則・分配法則が満たされる形で整数にも適用される。

有理数

有理数は、整数より範囲を広げて、割り算を自由にできる様にした世界である（ただし0で割ることだけはできない）。有理数は、整数全てに加え、Aが0以外の有理数であるならA×Ainv=1となる数Ainvも用意し、有理数に含めることで整数より概念を拡張する。ここで、A÷B = A×Binvと同じとなるが、「あまり」の計算は行わない。この上で、整数での四則演算の概念は、交換法則・結合法則・分配法則が満たされる形で有理数にも適用される。

実数・複素数

実数・複素数は、有理数をさらに拡張した概念であるが、有理数の時と矛盾が無い様に、四則演算が定義される。

数の世界以外での四則演算

四則演算は、いわゆる数の世界だけにあるものではない。様々な種類の四則演算があり、基本的には以下の条件を満たす様に決められる。

• 足し算・掛け算は、いずれも結合法則・分配法則を満たす。
• 足し算は、交換法則を満たす。（掛け算は、満たす場合と満たさない場合がある）
• 引き算が可能だとすると、0に相当する元が存在し、0+X=Xが成り立つ。
• 割り算が可能だとすると、1に相当する元が存在し、1・X=Xが成り立つ。（割り算を定義する場合）