水道方式

水道方式とは、数学者であり数学教育者であった遠山啓によって提示されたものである。 主な主張としては、

• 五・二進法の推奨
• タイルのシェーマ
• 構成的な、発達段階に応じた指導

などがあり、効果を上げた。
「一般から特殊へ」という方針もあるが、「特殊から一般へ」という方向性があることは遠山自身も認めている。

五・二進法

「ちえおくれの生徒に、『５』を『V』として教えたら効果があった」というところから、小学生の一桁の加算において導入された。

一桁の加算の指導

一桁の加算の指導においては、

• 1+1、1+2、1+3、2+1、2+2、3+1 という、和が五未満の加算を指導する。
• 1+4、2+3、3+2、4+1 などの、「足して五になる加算」を指導する。
• 1+5、2+5、3+5、4+5、5+1、5+2、5+3、5+4、5+5 などの、「足して五を超え、計が十未満になる五以下の数の加算」を指導する。
• 1+9、2+8、3+7、4+6、6+4、7+3、8+2、9+1 などの「足して十になる加算」を指導する。

ことで、「十へのくりあがりがある一位の加算の指導」がうまくゆく、という話である。これはタイルのシェーマを用いて説明する。
ここから、「足して 18 以下の加算」を経て、二位数・三位数の加算にまで進んでゆ。

結果が一桁数になる減算の指導

まず、以下の減算の問題のパターンを以下の三つに分ける。

1. A - B = □
2. A - □ = C
3. □ - B = C

あとは

• 2 - 1 = □、3 - 1 = □、3 - 2 = □、4 - 1 = □、4 - 2 = □、4 - 3 = □、5 - 1 = □、5 - 1 = □、5 - 3 = □、5 - 4 = □
• 6 - 1 = □、7 - 2 = □、8 - 3 = □、9 - 4 = □
• 6 - 2 = □、6 - 3 = □、6 - 4 = □、6 - 5 = □、7 - 1 = □、 7 - 3 = □、 7 - 4 = □、 7 - 5 = □、7 - 6 = □、8 - 1 = □、

8 - 1 = □、8 - 2 = □、8 - 4 = □、8 - 5 = □、8 - 6 = □、8 - 7 = □、9 - 1 = □、9 - 2 = □、9 - 3 = □、9 - 5 = □、9 - 6 = □、9 - 7 = □、9 - 8 = □ を指導してゆく、これに習熟したところで「空位の 0」を指導する。 ここからの指導は、児童の達成度に合わせて行う。

構成的な、発達段階に応じた指導

これが本来の「水道方式」の語源である。
ひとつの方針としては、「一般から特殊へ」がある。（その逆もある。）
たとえば三桁の加算は、「222 + 222」のうな「繰り上がりのないもの」から始め、それを十分に理解してから、三桁のいずれかに繰り上がりのあるものへと指導してゆく。このあたりは、プログラム化して自動化し、AIにでも判定させればよい.

あるいは九九は、「ににんがし」から「くくはちじゅういち」とかつては教えられていた。
いわゆる「百マス計算」では 0 から 9 までの演算を教えるようだが、いわゆる「九九」には「0 の段」「1 の段」はない。
したがって、「0 元」と「単位元としての 1 」は自明とされていた。
また、乗算における交換法則も自明とされており、「さんにがろく」は「間違っている」と叱られたという話がある。

同様に、小学校における分数の指導には「約分」「通分」が伴うが、「ユークリッドのアルゴリズム」や「素因数分解」といった概念は教えれらてはいない。 「物事は順序だてて教えられなければならない」「テスト（＝レディネス・テスト）は、学童の達成度を測るための指標であり、点数では計れない（＝本来の学力は、数値化できない）」と遠山は述べている。

この遠山の意見に対し、数学者の森毅は森ダイヤグラムを提示したという。