自然数
自然数とは、それぞれの要素の区別がつかないものの個数を抽象化した数をいう。
0は、ものが「ない」ことを表すが、もともと'ない、と何がないのかが判らないために、基本的には自然数のうちには含めない。ただし、「なくなった」「割切れたので、余りがない」ことを表すための 0 は、数論（整数論。剰余系）において使われる。
「非負の整数のこと」とも定義されることもあるのは、「0 を含めて「非負の整数」と定義したほうが数学的には扱いやすい」からである。また、「1」を「単数」、「2 以上の自然数」を「複数」と区別することもあるのは、「素因数分解の一意性」を前提とするのが普通だからである。素数を「1 と それ自身以外の（自然数の）因数を持たない複数と定義してもいい。
概要[編集]
自然数は
{自然数| 1, 2, 3, 4 ……}
という外延的な定義がもっとも素朴である（0 は含めない。無限集合）が、
{n で割った余り| 0, 1, 2 …… n - 1」
のほう（0 を含める。有限集合）がいろいろと使い勝手がよいという意見もある。
計算[編集]
加算[編集]
- 1 は自然数である。
- 自然数 + 自然数 は 自然数である。
という定義もある。このとき、「自然数 m + 自然数 n = 自然数 q 」とすると、「m < q かつ n < q」がいえる( 0 があ含まれていないため。剰余系が入ってくると多少ややこしい)。
乗算[編集]
- 自然数 × 自然数 は 自然数である。
とすると、「自然数 m × 自然数 n = q」であれば」 「m < q かつ n < q」ならば、「m と n のどちらも 1 ではない」がいえる。「つまり、1 に何かを掛けるか、何かに１を掛けるかでなければ、増える」ということである。 このあたりをちゃんと把握していないと、「素数」とか「合成数」とかいった話が出てきたときに混乱する。いわゆる「半九九」は一の段がなく、「二二が四（ににんがし）」で始まり「九九八十一」で終わるが、答えとして出てくるものはすべて合成数であって素数ではない。
減算と引き算・除算と割り算[編集]
減数が被減数よりも大きいと、減算ができない。等しい場合は自然数ではない 0 が出てきてしまうので、やはり減算ができない。したがって自然数は減算において閉じていない。そこで、マイナスの数や 0 を含む整数といった形で数概念の拡張が行われた。
除算についても、除数が被除数よりも大きいと、割り算の場合は、割られる数が割る数よりも大きいときに 0 が出てきてしまい、あまりが「割る数」になってしまって困ったことになる。そこで、分数といった形で数概念の拡張が行われた。
整数論との関係[編集]
「割った余りがいくつになるか」で考える剰余系や「有理数で表すとどうなるか」という既約分数で考える系を持ちこむことで自然数の理論を拡張したものが整数論であり、素数に関する理論もここに区分されるが、ここからさらに微積分などの解析数学を持ちこんで拡張された解析数論などもある。