無限大

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無限大(むげんだい、infinity)とは、1000000000000000000000000000000000000000000000000000…と表すことは宇宙がいくつあってもできない、限りなく大きなである。…いや、正確には数ではなく概念である。記号は「∞」。

種類[編集]

加算無限[編集]

数えきることは不可能でも、1番目から順番に数えていくことは可能な無限大。

  • 例えば、自然数の集合を最後まで全て数えきることは不可能だが、1, 2, 3, 4, …と数えていくことは可能なので、加算無限である。
  • 他にも素数の集合は、1番目は2、2番目は3、3番目は5、…のように数えることが可能であり、これも加算無限である。
  • 整数の集合の場合は、0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …のように並べていけば順番に数えることができるため加算無限である。同様に偶数奇数などの集合も加算無限である。
  • 有理数の集合は、22/7 = 3.142857142857… や 100/17 = 5.88235294117647058823529411764705… のように、どんなに細かく分けてもその間があるため、数えることができないかのように見える。しかし、以下のように並べて、かっこで囲った既約でない分数を除けば、すべての有理数を1番目から順番に数えることができる(ここでは正の有理数のみ並べたが、整数のときと同様、先頭を0にし正の数と負の数を交互に並べることもできる)。そのため、有理数の集合は加算無限である。
    1/1 | 1/2, 2/1 | 1/3, (2/2), 3/1 | 1/4, 2/3, 3/2, 4/1 | 1/5, (2/4), (3/3), (4/2), 5/1 | 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1 | 1/7, (2/6), 3/5, (4/4), 5/3, (6/2), 7/1 | …

加算無限集合同士の関係は「個数が同じ」であるとよく言われる。例えば、以下のように1対1で対応させることが可能なことからも分かる通り、素数の個数と有理数の個数は同じなのである。

自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
素数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
有理数 0 1 -1 1/2 -1/2 2 -2 1/3 -1/3 3 -3 1/4 -1/4 2/3 -2/3 3/2 -3/2 4 -4 1/5

非加算無限[編集]

数えきることはおろか、1番目から順番に数えていくことすら不可能な無限大。言い換えれば、自然数と1対1対応ができないということである。

実数の集合が非加算無限であることは、対角線論法を用いて証明することができる。無理数の集合は、実数(非加算)から有理数(加算無限)を除いた部分集合であり、これも非加算無限である。この他、複素数などの集合も非加算無限である。

全ての実数を列挙した例
(1) 0.3264873498…294…
(2) 0.5435879262…893…
(3) 0.8048965135…702…
(4) 0.5436879145…654…
(5) 0.8546982467…904…
(i) 0.2574892741…657…

(A) 0.2111212211…221…

0以上1未満のすべての実数に、1から順番に自然数の番号をつける。すると、無限個の番号が付いたすべての実数を1番目から順番に列挙することができる。

ここで、小数第i位の数字を、i番目の実数の小数第i位が偶数なら1、奇数なら2とする実数Aを考える。

先ほどすべての実数に番号をつけたので、実数Aにも番号がついているはずである。ところが、1番目の実数とは小数第1位が異なり、2番目の実数とは小数第2位が異なり、…というように、番号がついているどの実数とも一致しない。

そのため、すべての実数を書き出したという仮定が誤っていたことがわかる。

これにより、すべての実数に自然数で番号をつけることは不可能であることが証明された。


無限大を使った計算[編集]

前述の通り、∞は数ではなく概念であるため、このような計算に特に意味はない。以下の計算は形式的に出てくることがあっても、厳密な議論に用いられることはない。

以下、a, bは任意の実数、c, dは任意の正の実数とする。

加算・減算[編集]

-∞ +b +∞
不定
a -∞ a+b
-∞ -∞ -∞ 不定

乗算・除算[編集]

×0 ÷∞ ×d ÷d ×∞ ÷0
不定 不定 ±∞
c 0 0 cd c/d ±∞
0 0 0 0 0 不定 不定

関連項目[編集]