解析学

解析学(かいせきがく)とは、数学の中でも、関数など連続量の変化を扱う学問である。

概要

実数上で定義された関数や、時間変化する物理量など、連続的に変化するものの性質を調べるのが解析学である。

解析学の概念自体は太古の昔からあったが、中世以前はあまり発展しなかった。しかし17世紀に、ニュートンやライプニッツにより、関数や物理量のミクロな変化を調べる微分の概念が確立され、連続した量を足し続ける積分が微分の逆演算として位置づけられたことにより、解析学の発展が始まった。またニュートンが確立した力学が微分・積分を用いて定式化されたこともあり、解析学の重要性が大きく高まった。

しかし、微分は無限小÷無限小、積分は無限小×無限大の様な操作を行うため、こうした「極限」を数学でどう扱うかというのが大きな問題となっていた。これらは18世紀に生まれたε-δ論法を用いて極限の論理的な定義が可能となり、数学の中で問題なく扱える様になった。

微分を用いた方程式を、微分方程式と呼ぶ。ニュートン力学の数理的背景は微分方程式を用いて記述されている。
近代以降、電磁気学、量子力学など他の物理現象を扱う分野や、近年では経済学も、微分方程式を用いて記述される様になった。そのため、解析学は数学の中でも応用分野の広い分野であると言える。

学校数学における解析学の範囲

高校

• 2次関数（数学Ⅰ）
• 三角関数（数学Ⅱ）
• 指数関数・対数関数（数学Ⅱ）
• 微分・積分の考え（数学Ⅱ）
• 極限（数学Ⅲ）
• 微分法（数学Ⅲ）
• 積分法（数学Ⅲ）

脚注

注

出典