正方行列

正方行列とは、行の数と列の数が同じ行列である。

概要

正方行列は、入力・出力も同じ次元のベクトルとなる線形写像を、数字の並びで表したものである。

正方行列で、以下の様な式を満たす複素数r、ベクトルVの組が存在することがある（ただしVは零ベクトル、即ち全ての元が0となるベクトルでは無い）。

$A\cdot V=r\cdot V$

この時、Vを固有ベクトル、rを固有値と呼ぶ。一般的に、N次元の行列は最大でN個の固有値を持ち、固有ベクトルを最大N方向分持つ。0を固有値として持たない行列を正則行列と呼ぶ。

例えば、行列

$A={\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&0\\-1&1&3\end{pmatrix}}$

は、$v_{1}=(1,1,0),\ v_{2}=(1,0,1),\ v_{3}=(0,0,1)$を固有ベクトルとして持ち、対応する固有値は順に$e_{1}=1,\ e_{2}=2,\ e_{3}=3$である。この時、次の様に、元の行列に固有ベクトルからなる行列、およびその逆行列を掛ける演算を行うと、対角線だけに数字が並ぶ行列に変化させることができる。

${\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}^{-1}\cdot A\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e_{1}&0&0\\0&e_{2}&0\\0&0&e_{3}\end{pmatrix}}$

具体的に数字を入れると以下の様になる。

${\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&0\\-1&1&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$

この操作のことを、対角化と呼ぶ。対角化は、全ての正方行列で可能ではなく、対角化できるケースとできないケースがある。