転置行列

転置行列とは、m行n列行列Aに対してAのi,j成分とj,i成分要素を入れ替えてできるn行m列の行列のことである。行列の転置行列を与える操作のことを転置と言う。

概要

$A^{T}$などと表記する。 正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。 ベクトル(m=1またはn=1の行列)に対しても使われ、表記上収まりを良くするときにも有用である。

性質

行列A,Bとスカラーk,lに対して、各演算が定義できる限り以下が成り立つ。

• $(A^{T})^{T}=A$(対合性)
• $(A+B)^{T})=A^{T}+B^{T}$(加法性)
• $(kA)^{T}=kA^{T}$(斉次性)
• $(kA+lB)^{T})=kA^{T}+lB^{T}$(線形性=加法性+斉次性)
• $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$(積は順序を入れ替える)

正方行列

• $(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$(逆行列と転置は交換可)
• $tr(A)=tr(A^{T})$(トレースは等しい)
• $\det(A)=\det(A^{T})$(行列式は等しい)

転置行列により定義される行列

• 対称行列:転置が元の行列と等しい。($A^{T}=A$)
• 交代行列:転置が元の行列に(-1)と等しい。($A^{T}=-A$)
• 直交行列:転置が元の行列の逆行列と等しい。($A^{T}=A^{-1}$)

これらの行列はそれぞれ随伴行列に対するエルミート行列・歪エルミート行列・ユニタリ行列に相当する。