二次方程式の解の公式

二次方程式の解の公式は、二次方程式の解を求める公式である。中学3年で暗記させられる。判別式は高等学校、高等専門学校で学習します。一部の私立は中2の最初にやる。がんばって!!

内容

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解は $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ である。

また、特に二次方程式 $ax^{2}+2b'x+c=0$ の解は $x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac}}}{a}}$ である。

判別式

上式について、$D=b^{2}-4ac$ を判別式と呼び、以下のような関係がある。

• $D>0$
  • この二次方程式には2つの実数解がある。
• $D=0$
  • この二次方程式には1つの重解がある。
• $D<0$
  • この二次方程式には2つの虚数解がある。

練習問題

練習問題 : 解の公式の利用

以下の方程式を解け。

1. $4x^{2}+7x+3=0$
2. $(x+38)(x-58)=97$
3. $x^{2}+x+1=0$

正解は右をクリックして表示！

順に、 $x=-1,-{\frac {3}{4}}$ $x=59,-39$ $x={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$

ぼくのかんがえたすごいこうしき

まず、ax²+bx+c=0の両辺にaで割ると

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x^{}+{\frac {c}{a}}=0$

そこで、

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$を利用し

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$

すなわち

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}$

と導出される。これを整理すると

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{(2a)^{2}}}-{\frac {4ac}{(2a)^{2}}}}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

となり、よく見る形と同じ式になる。

この方法は平方完成と言われる。つまり、解の公式は平方完成から求められるということがわかる。

関連項目

• 数
• 実数
• 虚数
• 複素数
• 複素数平面