テイラーの定理

数学の微積分学分野に於けるテイラーの定理とは任意の関数$y=f(x)$を代数多項式で近似する定理であり平均値の定理の拡張とも言える形をしてる公式である。

概要

具体的に書くと以下のよーな感じである。；

関数$y=f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続かつ開区間$(a,b)$でn+1回微分可能であるならば

• $f(b)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(b-a)^{n+1}$

となるような実数$c$(※ただし$(a<c<b)$)が存在する。

証明

右辺の(b-a)のn+1乗の係数をKとおくと

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+K(b-a)^{n+1}-f(b)=0$

が成り立つ。ここで以下のよーな関数

$\varphi (x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}+K(b-x)^{n+1}-f(b)$

をおくと$\varphi (a)=\varphi (b)=0$となるからロルの定理より$\varphi '(c)=0$となる実数cが存在する。で、この関数を微分したら積の微分法より ${\begin{aligned}\varphi '(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\{f^{(k+1)}(x)(b-x)^{k}-f^{(k)}(x)\cdot k(b-x)^{k-1}\}-K(n+1)(b-x)^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}-K(n+1)(b-x)^{n}\\&={\frac {f^{(n+1)}(x)}{n!}}(b-x)^{n}-K(n+1)(b-x)^{n}\\&=(n+1)(b-x)^{n}\left({\frac {f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}}-K\right)\end{aligned}}$ が成り立つ。従ってこれと$\varphi '(c)=0$より

$K={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}$

が得られる。 (証明終)

書き換え

テイラーの定理に対しても平均値の定理と同様の書き換えが適用できる。即ち

$a=x_{0},b=x_{0}+\Delta x$

とおけば上述の定理は

$f(x_{0}+\Delta x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(\Delta x)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(x_{0}+\theta \Delta x)}{(n+1)!}}(\Delta x)^{n+1}$

と書ける。そして更に$x_{0}=0$とおいて$\Delta x$を$x$に変えたら

• $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}}x^{n+1}$

が得られる。これは零でのテイラーの定理またはマクローリンの公式などと呼ばれている。ただし$(0<\theta <1)$である事に注意。

テイラー展開

この節ではテイラーの定理の一つの応用を御紹介しますわ☆

上述の零でのテイラーの定理のΣの後にある項はラグランジュの剰余と呼ばれている。；

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}}x^{n+1}$

ここで関数$y=f(x)$が$[-a,a]$または$(-a,a)$で無限回微分可能であり任意の自然数nと上記区間内のあらゆる実数xに対して不等式

$|f^{(n)}(x)|\leqq cM^{n},(c,M\in \mathbb {R} )$

が成り立つならば$|\theta x|\leqq |x|$であるから

${\begin{aligned}|R_{n}(x)|&=\left|{\frac {f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}}x^{n+1}\right|\\&\leqq {\frac {cM^{n+1}}{(n+1)!}}x^{n+1}\\&\leqq c{\frac {(Mx)^{n+1}}{(n+1)!}}\end{aligned}}$

が言える。ここで$x>1$のとき以下のような極限公式

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=0$

が成り立つ事が知られているのでラグランジュの剰余は自然数nが限りなく大きくなった時

$|R_{n}(x)|\leqq c{\frac {|Mx|^{n+1}}{(n+1)!}}\to 0$

とゆー風に零に収束する。従って上記仮定のもと零でのテイラーの定理に対して$n\to \infty$の極限をとれば関数$y=f(x)$が

• $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

と無限冪級数に展開できる事が分かった。斯くの如き級数展開を(零まわりの)テイラー展開という。

補遺

ここでは前節のテイラー展開の定理を導出するのに用いた補助定理

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=0$

を証明しときますわ♪；

証明

まず$2x<L,(L\in \mathbb {N} )$となる自然数Lを考える。すると$L\leqq n$のとき

${\begin{aligned}{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x\cdot x\cdots x}{1\cdot 2\cdots L}}\times {\frac {x\cdot x\cdots x}{(L+1)(L+2)\cdots n}}\\&={\frac {x^{L}}{L!}}\times {\frac {x}{L+1}}\cdot {\frac {x}{L+2}}\cdots {\frac {x}{n}}\end{aligned}}$

が成り立つ。ここで$x/L<1/2$より

${\begin{aligned}{\frac {x^{n}}{n!}}&\leqq {\frac {x^{L}}{L!}}\times {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdots {\frac {1}{2}}\\&={\frac {x^{L}}{L!}}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{n-L}\to 0,(n\to \infty )\end{aligned}}$

が言えるので定理の極限が確かに零に収束してる事が分かる。(証明終)

関連項目

• テイラー展開