二次関数

二次関数(にじかんすう)とは、引数の2乗、1乗、定数の和として書ける関数のことである。

概要

読んで字のごとく、二次の関数である。一次関数と比べるとはるかに難しく、それなりに複雑な代数計算が必要となるので、中学数学の最大の山場にして、高校数学の第一歩という側面を持っている。なお、三次関数に比べればはるかに簡単である。

定義

$f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$という式で書ける関数のことを、二次関数と呼ぶ。

性質

二次関数の引数をx軸に、像をy軸にとってグラフを書くと、左右対称で、ピークを持つ様な曲線になる。これは、地球上で投げた物体が描く軌跡と同じカーブであることから、「放物線」と呼ばれている。二次関数を、放物線としての形状が分かりやすい様な形で書くと、以下の様な式になる。

$y={\frac {\alpha }{2}}(x-\beta )^{2}+\gamma$

これは、$(x,y)=(\beta ,\gamma )$に頂点を持つ、頂点での曲率が$|\alpha |$（曲線半径$|\alpha |^{-1}$）の放物線を表す式である。なお$\alpha >0$の時は頂点が下に凸（谷底）となり、$\alpha <0$の時は頂点が上に凸（山頂）となる。物体を放り投げた時の軌跡のイメージは$\alpha <0$の方が近い。

二次方程式の解き方

二次方程式には「解の公式」が存在し、以下の式を用いて解く。

$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\Rightarrow x={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}}}{2a_{2}}}$

この式を使うにあたって、真っ先に気をつけるべきなのは、$a_{2}\neq 0$であることの確認である。もし$a_{2}=0$であればこの式を使ってはいけない以前に、一次方程式になるのでこんな難しい式を使う必要が無い。次に気をつけるべきなのは、$x$がどの範囲を取るかである。整数縛りなのか実数縛りなのか、あるいは虚数も許可されるのかは要確認であるのと、高校の試験問題では$x>0$などの縛りがつくこともある。

二次方程式で重要なパラメーターに、根号の中身、$a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$である。これは「判別式」と呼ばれ、二次方程式の解の数を決定づける数となる。判別式が正の時は、解が2つ存在する。判別式が0の時、解は1つとなり、2つの解が重なっていると解釈できるので「重根」と呼ばれる。判別式が負の時、解が実数縛りや整数縛りの時は平方根を計算できない。実際、この時方程式の解は存在しない。一方、虚数で解を求めることが許可されている場合は、複素数の範囲で2つの解を持つ。

ちなみに、先ほど述べた、放物線としての形状の表現を重視した式で与えられた二次方程式だと、もっと簡単に解ける。

${\frac {\alpha }{2}}(x-\beta )^{2}+\gamma =0\Rightarrow x=\beta \pm {\sqrt {-{\frac {2\gamma }{\alpha }}}}$