tan1°は有理数か。

$\tan 1^{\circ }$ は有理数か。

これは京都大学の2006年度の後期入学試験で出題された、数学の証明問題であり、「大学入試史上最短の問題」でもある。

解答例

$\tan 1^{\circ }$ が有理数だと仮定する。

加法定理より、

$\tan 2^{\circ }=\tan(1^{\circ }+1^{\circ })={\frac {\tan 1^{\circ }+\tan 1^{\circ }}{1-\tan 1^{\circ }\tan 1^{\circ }}}$

も有理数である。同様に

$\tan 3^{\circ }=\tan(2^{\circ }+1^{\circ })={\frac {\tan 2^{\circ }+\tan 1^{\circ }}{1-\tan 2^{\circ }\tan 1^{\circ }}}$

も有理数であり、 $\tan 4^{\circ }=\tan(3^{\circ }+1^{\circ }),\tan 5^{\circ }=\tan(4^{\circ }+1^{\circ }),\cdots ,\tan 60^{\circ }=\tan(59^{\circ }+1^{\circ })$ も有理数である。

しかし $\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}$ は有理数ではないため、冒頭の仮定に矛盾する。

よって冒頭の仮定は誤りで、 $\tan 1^{\circ }$ は有理数ではない。（証明終）

京大入試なのだからこれくらい書いておけば満点だと思われる^{[採点求む！]}。

もし練習問題として「 ${\sqrt {3}}$ が有理数でない」ことの証明まで求められた場合は、以下のようにする。また、加法定理の証明はこちらを参照。

√3が有理数でないことの証明例

${\sqrt {3}}$ が有理数だと仮定すると、 2 つの自然数 a , b を用いて

${\sqrt {3}}={\frac {a}{b}}$

と書ける。これの両辺を $b$ 倍して 2 乗すると、

$3b^{2}=a^{2}$

ここで、 $3b^{2}$ は素因数 3 を奇数個、 $a^{2}$ は素因数 3 を偶数個持つ。

しかし、素因数分解の一意性より左辺の $3b^{2}$ と右辺の $a^{2}$ の素因数 3 の個数は等しいはずであり、矛盾する。

よって冒頭の仮定は誤りで、 ${\sqrt {3}}$ は有理数ではない。

小数点以下3600桁までのtan1°

以下では小数点以下3600桁の$\tan 1^{\circ }$を示す。ただし、いくら桁数を求めたとしても、「あと少し計算したら循環が始まる可能性を否定できない」以上、無理性の証明にはならない。繰り返すが、この方法で何桁まで計算しても有理数かそうでないかを証明することはできない。

0.
0174550649 2821758576 5128895219 7278243141 0158883987 5276904711 4271021048 5485646236 7622889689 1582992038
0119254694 4115336252 0471623421 2355003952 3092519105 9514755331 0999965295 2109465755 5413445222 5112532707
6736507607 2417718931 4429996211 8739208390 9364426427 7047392484 5740804104 9104418462 1561665295 8482351638
2636994123 2725445014 8467509008 6907860669 1720963796 5804306251 1630903536 1235933302 4166443036 6779389613
5799461626 5883961368 8851755375 6939160151 3137018040 4105938226 5274353078 1714568851 8595233742 6917553265
4954416050 6755582261 7799344903 1957203446 5241473411 5930714426 4902924840 4734732140 3021472678 2891644617
3466791600 7791654859 2330081590 2486865248 5083240769 9817335241 2278654023 3715025263 8294554799 9504274389
6719268596 3437261908 1531897975 9903461204 9151415076 6690273481 8150745192 9722450554 2597934427 6409299855
1564812980 1150872708 2391585807 5634281338 5889671484 8046245064 5566941089 5401190829 1822227792 8079102797
0853116748 8648183605 0621318707 6325499192 7695288401 0553666894 9684421721 5250916297 9972878516 9926648448
4263694288 7872034459 0050761701 0979746378 0968219706 5176281180 6509453385 5402271050 8115911831 8314762990
5073751087 7919437172 3973713908 5857648583 1133967033 3785883059 6002054384 3928163095 8515773212 8733427017
1784920537 4760321094 2211880052 7415140184 2579969479 5454312972 7461191675 6247841967 8702578461 3484480155
3680407535 7552267707 2644528105 6826149811 9837239686 2815444709 9342162390 3754046203 7179664752 7215367629
1629093662 2700621443 3896468711 3260188778 1361746226 2269405520 9085323202 8334351202 8118111238 8336114188
4221074098 7918750283 4761799723 1048311480 2874561133 4128269605 9145204172 6385654696 6785776827 0403588669
2313002543 0147647022 1787927994 3786886053 0386317556 3061814652 8361233866 7762966605 9852760400 0640438930
5402822727 5406625001 4949300328 4745337514 7471505623 1714877113 1083322673 4436715000 7766099825 9459839704
3466755634 9593941399 1411445944 2722735575 5305267920 9877126465 7737394089 6592059677 0983450992 0213994252
1535927707 1601643475 8090979936 6308054298 7601103634 8565822250 4532501726 9576069361 2618757119 5315521012
0280676688 1352597477 1452540447 9031236888 1637910218 3690409180 1996505518 7815861423 0150184798 5587403871
3420651644 4262728942 1304178034 3191880223 9512167643 6077649292 5632085702 0534914798 3135909744 3780959371
9254817012 3694689278 5422541925 6067286816 7150737716 5860027663 2784059597 2492446169 1678223192 5620841823
9660580715 4256045547 2392496220 6218223149 2181552660 2042672495 7756735623 7911033624 2431266612 0007481379
8443452508 4808632618 3944098004 9165017451 7376158571 7381042966 1642772724 6259878403 9385815719 9000801537
8605426304 7235893902 6101884842 9279972899 2024573130 7284789360 0131071155 3971759273 5195369809 0430257150
5835800854 2941325968 0093600125 1140084062 5299493873 3002467051 1010981599 4221373997 5254916740 1535739451
7582665597 7682731740 3877880793 2722697247 4444269478 4090852825 1086648758 1504382009 2060453174 7898541240
7394128256 8240671031 5019846826 7364594598 1994365571 5809523869 7947527827 1235518226 1159034207 9973170681
0663883411 6186690487 2082733452 8394149625 5207285891 7640504572 7036444223 8181197590 6610811867 4790310679
4399668795 8981426201 7018493177 5307274110 8129136619 5187014245 5192490876 5578999243 9851299935 6212757883
8616638967 1024365711 3463231010 5827957936 8849425333 3092857903 9396106766 3185273615 5974389718 0265990354
3552844971 3627417162 2680651543 2210645711 4581600322 0237709454 6247904687 9493506627 6804137346 8178306013
2602282775 9890987377 8075549438 1453130489 8923201619 7477862881 3799236916 1802730102 4833894604 1432791343
5817911667 5446858105 8976490238 7554837270 3183066009 1922024843 8343984624 0379313402 9907059042 2632987311
2651180568 5892391359 7814369774 6064660849 4238835088 9210589267 4720685058 3809026496 0518802057 3803672416

他に伝説的な問題ってあるの？

1995年の京都大学入試問題も、語り継がれる伝説的な存在である。

自然数の関数f(n), g(n)を

• f(n) = nを7で割った余り,
• g(n) = 3f($\sum _{k=1}^{7}{k^{n}}$)

によって定める.

---

(1) すべての自然数nに対して n^7 ≡ n (mod 7) であることを示せ. (2) あなたの好きな自然数 n を一つ決めて g(n) を求めよ.
　　その g(n) の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする.

(1) は合同式、因数分解、数学的帰納法などにより証明できる^{[回答省略]}。

(2) は、一見非常に大きい値をnにすることでいくらでも点数がもらえるように見える。しかし、実際はそうではない。

まず、g(n)は任意の整数xについてf(7^x)が常に0であり、任意の整数x'についてf(1^x')が常に1であることから、3f(1 + $\sum _{k=2}^{6}{k^{n}}$)と読み替えられる。総和を書き下してg(n) = 3f(1 + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n)。長いのでg(n) = 3f(h(n))、h(n) = 1 + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^nとする。

n >= 7の場合は、合同式同士の足し算よりg(n) = 3(1 + f(2^n) + f(3^n) + f(4^n) + f(5^n) + f(6^n))と変形でき、補題(1)を帰納的に適用することによりその値はg(f(n))となる。よって、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)、g(5)、g(6)の値を検討すればよい。以下、(文字通りh(n)が指数関数になっているので大変だろうが) 地道にべき乗を計算したり二分累乗法で計算したりして腕力で解決することができる。

n	h(n)	f(h(n))	g(n) = 3f(h(n))
1	21	0	0
2	91	0	0
3	441	0	0
4	2275	0	0
5	12201	0	0
6	67171	6	18

いずれにせよ、n=6として18点を得ることができる。