背理法

背理法（はいりほう）は、命題が偽であると仮定すると矛盾することから、その命題が真であることを導く方法である。対偶法と並んで、命題を直接証明することが難しい場合に役立つ方法である。

例

1．7個の球を3つの箱に入れるとき、少なくとも1箱には3個以上の球が入ることを証明する。

（証明）3個以上の球が入っている箱がないと仮定すると、1箱には最大でも2個の球しか入っていないことになる。つまり、3箱では最大でも2*3=6(個)の球しか入らないことになり、球が7個あることと矛盾する。ゆえに、7個の球を3つの箱に入れるとき、少なくとも1箱には3個以上の球が入る。（証明終）

2．Tan1°は有理数か。

これは京都大学の2006年度の後期入学試験で出題された、数学の証明問題であり、「大学入試史上最短の問題」でもある。

• 解答例

(この解答例は誤りです。正解をご存じの方は誤りをただして下さい）

$\tan 1^{\circ }$ が有理数だと仮定する。

加法定理より、

$\tan 2^{\circ }=\tan(1^{\circ }+1^{\circ })={\frac {\tan 1^{\circ }+\tan 1^{\circ }}{1-\tan 1^{\circ }\tan 1^{\circ }}}$

も有理数である。同様に

$\tan 3^{\circ }=\tan(2^{\circ }+1^{\circ })={\frac {\tan 2^{\circ }+\tan 1^{\circ }}{1-\tan 2^{\circ }\tan 1^{\circ }}}$

も有理数であり、 $\tan 4^{\circ }=\tan(3^{\circ }+1^{\circ }),\tan 5^{\circ }=\tan(4^{\circ }+1^{\circ }),\cdots ,\tan 60^{\circ }=\tan(59^{\circ }+1^{\circ })$ も有理数である。

しかし $\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}$ は有理数ではないため、冒頭の仮定に矛盾する。

よって冒頭の仮定は誤りで、 $\tan 1^{\circ }$ は有理数ではない。（証明終）

京大入試なのだからこれくらい書いておけば満点だと思われる。

もし練習問題として「 ${\sqrt {3}}$ が有理数でない」ことの証明まで求められた場合は、以下のようにする。また、加法定理の証明はこちらを参照。

√3が有理数でないことの証明例

${\sqrt {3}}$ が有理数だと仮定すると、 2 つの自然数 a , b を用いて

${\sqrt {3}}={\frac {a}{b}}$

と書ける。これの両辺を $b$ 倍して 2 乗すると、

$3b^{2}=a^{2}$

ここで、 $3b^{2}$ は素因数 3 を奇数個、 $a^{2}$ は素因数 3 を偶数個持つ。

しかし、素因数分解の一意性より左辺の $3b^{2}$ と右辺の $a^{2}$ の素因数 3 の個数は等しいはずであり、矛盾する。

よって冒頭の仮定は誤りで、 ${\sqrt {3}}$ は有理数ではない。

関連項目

• Tan1°は有理数か。
• 無理数