三次方程式

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三次方程式(さんじほうていしき)とは、 の形で表される方程式である。

三次方程式の解の公式[編集]

実数を係数とする一変数の三次方程式 の解は

ただし、

この解法は、自著アルス・マグナにて解法を公表した人物の名を冠して「カルダノの公式」として知られる。

公表に至る経緯はアルス・マグナを参照

解の公式の導出[編集]

を解く。

立方完成[編集]

まず両辺を a で割ると、

展開公式より なので、 に変形することで の形を作り出すのを目標とする。

見やすくするため とおいて変形すると、

ただし とおいた。

カルダノの方法[編集]

ここで と置換し、 u と v の対称式の形に整える。

これを満たすためには、以下の2式が成り立てばよい。

二次方程式の解と係数の関係より、 を2解に持つ方程式は だとわかる。

二次方程式の解の公式より を求める。 u, v は対称なので、片方を 、もう片方を と決めてよい。

ここから u, v それぞれ3個の立方根が得られる。

これらを1の立方根 を用いて表すと以下のようになる。

ここで を満たす は以下の3種類に絞られる。

以上より、求める三次方程式の解 は以下のように表される。

関連項目[編集]