三次方程式

三次方程式（さんじほうていしき）とは、 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~~~~(a\neq 0)$ の形で表される方程式である。

三次方程式の解の公式

実数を係数とする一変数の三次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~~~~(a\neq 0)$ の解は

$x={\begin{cases}-{\displaystyle {\frac {b}{3a}}}+{\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}\\-{\displaystyle {\frac {b}{3a}}}+\omega {\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}\\-{\displaystyle {\frac {b}{3a}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}\\\end{cases}}$

ただし、 $p=-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}+{\frac {c}{3a}},\ q=-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}},\ \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$

この解法は、自著アルス・マグナにて解法を公表した人物の名を冠して「カルダノの公式」として知られる。

公表に至る経緯はアルス・マグナを参照

解の公式の導出

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~~~~(a\neq 0)$ を解く。

立方完成

まず両辺を a で割ると、

$x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+{\frac {c}{a}}x+{\frac {d}{a}}=0$

展開公式より $(x+k)^{3}=x^{3}+3kx^{2}+3k^{2}x+k^{3}$ なので、 ${\frac {b}{a}}x^{2}$ を $3kx^{2}$ に変形することで $(x+k)^{3}$ の形を作り出すのを目標とする。

見やすくするため $3B={\frac {b}{a}},\ 6C={\frac {c}{a}},\ 2D={\frac {d}{a}}$ とおいて変形すると、

${\begin{aligned}x^{3}+3Bx^{2}+6Cx+2D&=0\\x^{3}+3Bx^{2}+3B^{2}x+B^{3}&=3B^{2}x+B^{3}-6Cx-2D\\(x+B)^{3}&=3(B^{2}-2C)x+B^{3}-2D\\(x+B)^{3}&=3(B^{2}-2C)(x+B)-3(B^{2}-2C)B+B^{3}-2D\\(x+B)^{3}&=3(B^{2}-2C)(x+B)-2(B^{3}-3BC+D)\\X^{3}&=-3pX+2q\\\end{aligned}}$

ただし $X=x+B,\ p=-B^{2}+2C,\ q=-B^{3}+3BC-D$ とおいた。

カルダノの方法

ここで $X=u+v$ と置換し、 u と v の対称式の形に整える。

${\begin{aligned}X^{3}&=-3pX+2q\\(u+v)^{3}&=-3p(u+v)+2q\\u^{3}+3uv(u+v)+v^{3}&=-3p(u+v)+2q\\u^{3}+v^{3}-2q&=-3p(u+v)-3uv(u+v)\\u^{3}+v^{3}-2q&=-3(p+uv)(u+v)\\\end{aligned}}$

これを満たすためには、以下の2式が成り立てばよい。

${\begin{cases}u^{3}+v^{3}=2q\\uv=-p\ \Leftrightarrow \ u^{3}v^{3}=-p^{3}\\\end{cases}}$

二次方程式の解と係数の関係より、 $t=u^{3},v^{3}$ を2解に持つ方程式は $t^{2}-2qt-p^{3}=0$ だとわかる。

二次方程式の解の公式より $u^{3},v^{3}$ を求める。 u, v は対称なので、片方を $u^{3}$ 、もう片方を $v^{3}$ と決めてよい。

${\begin{cases}u^{3}=q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}\\v^{3}=q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}\\\end{cases}}$

ここから u, v それぞれ3個の立方根が得られる。

これらを1の立方根 $1,\omega ,\omega ^{2}\ \left(\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}},\ \omega ^{3}=1\right)$ を用いて表すと以下のようになる。

$u={\begin{cases}u_{0}={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}\\u_{1}=\omega u_{0}\\u_{2}=\omega ^{2}u_{0}\\\end{cases}},\ v={\begin{cases}v_{0}={\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}\\v_{1}=\omega v_{0}\\v_{2}=\omega ^{2}v_{0}\\\end{cases}}$

ここで $uv=p$ を満たす $X=u+v$ は以下の3種類に絞られる。

$X={\begin{cases}X_{0}=u_{0}+v_{0}\\X_{1}=u_{1}+v_{2}=\omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}\\X_{2}=u_{2}+v_{1}=\omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}\\\end{cases}}$

以上より、求める三次方程式の解 $x=-B+X$ は以下のように表される。

$x={\begin{cases}x_{0}=-B+u_{0}+v_{0}\\x_{1}=-B+\omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}\\x_{2}=-B+\omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}\\\end{cases}}$

関連項目

• 零次方程式 - 一次方程式 - 二次方程式 - 三次方程式 - 四次方程式 - 五次方程式
• 三次関数