三次方程式(さんじほうていしき)とは、 の形で表される方程式である。
三次方程式の解の公式[編集]
実数を係数とする一変数の三次方程式 の解は
ただし、
この解法は、自著アルス・マグナにて解法を公表した人物の名を冠して「カルダノの公式」として知られる。
公表に至る経緯はアルス・マグナを参照
解の公式の導出[編集]
を解く。
立方完成[編集]
まず両辺を a で割ると、
展開公式より なので、 を に変形することで の形を作り出すのを目標とする。
見やすくするため とおいて変形すると、
ただし とおいた。
カルダノの方法[編集]
ここで と置換し、 u と v の対称式の形に整える。
これを満たすためには、以下の2式が成り立てばよい。
二次方程式の解と係数の関係より、 を2解に持つ方程式は だとわかる。
二次方程式の解の公式より を求める。 u, v は対称なので、片方を 、もう片方を と決めてよい。
ここから u, v それぞれ3個の立方根が得られる。
これらを1の立方根 を用いて表すと以下のようになる。
ここで を満たす は以下の3種類に絞られる。
以上より、求める三次方程式の解 は以下のように表される。
関連項目[編集]