τ (数学定数)

τ（タウ）は、円の半径に対する円周の長さの比である。その値は6.283...で、円周率の2倍、つまり2πに等しい。

概要

数学や物理の公式では「2π」の登場頻度が多いことから、π = 3.14... は中途半端な値で、τ = 6.28... こそが円周率として合理的だったのではないかという主張がある。

例えば、三角関数の周期はτであり、

$\sin(x+\tau )=\sin x$

の等式が成り立つ。弧度法では1周（360°）がτ、2周（720°）が2τ、1/6周（60°）がτ/6などと、角度と数値がより直感的に結びつく。τを「turn」と読めば一目瞭然だろう。

また、オイラーの等式 $e^{\pi i}+1=0$ は

$e^{\tau i}=1$

となる。見た目がより簡潔になるだけでなく、「複素偏角を1周させると元に戻る」という意味合いからも本質的になる。

円の面積 $S=\pi r^{2}$ は

$S={\frac {1}{2}}\tau r^{2}$

となり余計な分数が増えているように見えるが、円周の長さ $l=\tau r$ の一階積分であることを考えれば係数1/2はむしろ必然的だと考える人もいる（等加速度直線運動 $x={\frac {1}{2}}at^{2}$ や運動エネルギー $K={\frac {1}{2}}mv^{2}$ などと同形）。また、扇形の面積

$S={\frac {1}{2}}\theta r^{2}$

と同じ形で表記することもできる。

実際のところ

3.14から始まる円周率は紀元前2000年頃から知られていた値であり、6.283...を表す場合でも単に2πと書けば事足りるため、今さら変更するだけのメリットはほぼない。

試験問題や論文でどうしてもτが使いたかったら「以下、τ = 2π とおく」などと断り書きをすればよいだろう。採点官は戸惑うかもしれないが。

外部リンク

• Tau Manifesto - τ推進派のバイブル。よくある反論に対しても細かく説明がある。
• オイラーの等式よりも美しい - ネイピア数（自然対数の底）に対してτを「三角関数の底」とする考え方を提示している。