四次方程式

四次方程式（よじほうていしき）とは、 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~~~~(a\neq 0)$ の形で表される方程式である。

四次方程式の解の公式

実数を係数とする一変数の四次方程式 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~~~~(a\neq 0)$ の解は

$x={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {b}{4a}}\pm {\frac {+{\sqrt {T}}+{\sqrt {U}}+{\sqrt {V}}}{2}}\\\displaystyle -{\frac {b}{4a}}\pm {\frac {+{\sqrt {T}}-{\sqrt {U}}-{\sqrt {V}}}{2}}\\\displaystyle -{\frac {b}{4a}}\pm {\frac {-{\sqrt {T}}+{\sqrt {U}}-{\sqrt {V}}}{2}}\\\displaystyle -{\frac {b}{4a}}\pm {\frac {-{\sqrt {T}}-{\sqrt {U}}+{\sqrt {V}}}{2}}\\\end{cases}}$

ただし、複号は ${\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}=\pm {\sqrt {T}}{\sqrt {U}}{\sqrt {V}}$ と同順とする。 T, U, V は以下の三次方程式の3解。

$t^{3}+2\left(-{\frac {3b^{2}}{16a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)t^{2}+\left({\frac {21b^{4}}{256a^{4}}}-{\frac {5b^{2}c}{8a^{3}}}+{\frac {c^{2}+bd}{a^{2}}}-{\frac {4e}{a}}\right)t-\left({\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}\right)^{2}=0$

解の公式の導出

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~~~~(a\neq 0)$ を解く。

チルンハウス変換

まず両辺を a で割る。 $b'={\frac {b}{a}},\ c'={\frac {c}{a}},\ d'={\frac {d}{a}},\ e'={\frac {e}{a}}$ とおくと、元の方程式は

$x^{4}+b'x^{3}+c'x^{2}+d'x+e'=0$

の形にできる。

ここから3次の項を消去する。 $k={\frac {b'}{4}}={\frac {b}{4a}}$ とおくと、

${\begin{aligned}&x^{4}+b'x^{3}+c'x^{2}+d'x+e'\\&=x^{4}+4kx^{3}+c'x^{2}+d'x+e'\\&=(x^{4}+4kx^{3}+6k^{2}x^{2}+4k^{3}x+k^{4})+(-6k^{2}+c')x^{2}+(-4k^{3}+d')x+(-k^{4}+e')\\&=(x+k)^{4}+(-6k^{2}+c')x^{2}+(-4k^{3}+d')x+(-k^{4}+e')\\&=(x+k)^{4}+(-6k^{2}+c')(x^{2}+2kx+k^{2})+(12k^{3}-2c'k-4k^{3}+d')x+(6k^{4}-c'k^{2}-k^{4}+e')\\&=(x+k)^{4}+(-6k^{2}+c')(x+k)^{2}+(8k^{3}-2c'k+d')x+(5k^{4}-c'k^{2}+e')\\&=(x+k)^{4}+(-6k^{2}+c')(x+k)^{2}+(8k^{3}-2c'k+d')(x+k)+(-8k^{4}+2c'k^{2}-d'k+5k^{4}-c'k^{2}+e')\\&=(x+k)^{4}+(-6k^{2}+c')(x+k)^{2}+(8k^{3}-2c'k+d')(x+k)+(-3k^{4}+c'k^{2}-d'k+e')\\\end{aligned}}$

ここで $X=x+k,\ p=-6k^{2}+c',\ q=8k^{3}-2c'k+d',\ r=-3k^{4}+c'k^{2}-d'k+e'$ とおくと、元の方程式は

$X^{4}+pX^{2}+qX+r=0$

の形に変形できた。

複二次式

$q=0$ のとき、 $X^{2}$ の二次方程式 $(X^{2})^{2}+p(X^{2})+r=0$ として解くことができる。

二次方程式の解の公式より、

${\begin{aligned}X^{2}&={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4r}}}{2}}\\X&=\pm {\sqrt {\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4r}}}{2}}}\\\end{aligned}}$

と求められる（複号任意）。

フェラーリの方法

チルンハウス変換後の $X^{4}+pX^{2}+qX+r=0$ を解く。

変数 t を用いて $(X^{2}+A)^{2}=t(X+B)^{2}$ の形に変形できれば、二次方程式の解法を用いて解くことができる。ここで、

${\begin{cases}t=0&({\rm {if}}\ q=0)\\t\neq 0&({\rm {if}}\ q\neq 0)\\\end{cases}}$

であるが、 $q=0\Leftrightarrow t=0$ のときは複二次式として解くことができるため、ここでは $t\neq 0$ のみ考える。

${\begin{aligned}X^{4}+pX^{2}+qX+r&=0\\X^{4}+(p+t)X^{2}+{\frac {(p+t)^{2}}{4}}&=tX^{2}-qX+{\frac {t^{2}+2pt+(p^{2}-4r)}{4}}\\\left(X^{2}+{\frac {p+t}{2}}\right)^{2}&=t\left(X-{\frac {q}{2t}}\right)^{2}+{\frac {t^{3}+2pt^{2}+(p^{2}-4r)t-q^{2}}{4t}}\\\end{aligned}}$

右辺第2項が 0 になるような t を選べば、両辺の平方根をとれる。すなわち、

$t^{3}+2pt^{2}+(p^{2}-4r)t-q^{2}=0$

という三次方程式を解けばよいと分かる。その解の1つを T とおくと、

${\begin{aligned}\left(X^{2}+{\frac {p+T}{2}}\right)^{2}&=T\left(X-{\frac {q}{2T}}\right)^{2}\\X^{2}+{\frac {p+T}{2}}&=\pm {\sqrt {T}}\left(X-{\frac {q}{2T}}\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{cases}\displaystyle X^{2}-{\sqrt {T}}X+\left({\frac {p+T}{2}}+{\frac {q}{2{\sqrt {T}}}}\right)=0\\\displaystyle X^{2}+{\sqrt {T}}X+\left({\frac {p+T}{2}}-{\frac {q}{2{\sqrt {T}}}}\right)=0\\\end{cases}}$

このように2つの二次方程式が導出できる。これらを解いて得られる合計4つの X から、四次方程式の解 x が求められる。

オイラーの方法

チルンハウス変換後の $X^{4}+pX^{2}+qX+r=0$ を解く。

突然だが、ここで四次式 $(X+y+z+w)(X+y-z-w)(X-y+z-w)(X-y-z+w)$ を考える。本当に突然であるが、これを使えばうまくいくことがわかっているのでこの式について考えてみる。

この式を展開すると以下のようになる。

${\begin{aligned}&(X+t+u+v)(X+t-u-v)(X-t+u-v)(X-t-u+v)\\&=\left((X+t)^{2}-(u+v)^{2}\right)\left((X-t)^{2}-(u-v)^{2}\right)\\&=(X+t)^{2}(X-t)^{2}+(u+v)^{2}(u-v)^{2}-(X+t)^{2}(u-v)^{2}-(X-t)^{2}(u+v)^{2}\\&=(X^{2}-t^{2})^{2}+(u^{2}-v^{2})^{2}-(X^{2}+t^{2}+2Xt)(u^{2}+v^{2}-2uv)-(X^{2}+t^{2}-2Xt)(u^{2}+v^{2}+2uv)\\&=X^{4}+t^{4}-2X^{2}t^{2}+u^{4}+v^{4}-2u^{2}v^{2}-2(X^{2}+t^{2})(u^{2}+v^{2})+8Xtuv\\&=(X^{4}+t^{4}+u^{4}+v^{4})-2(X^{2}t^{2}+X^{2}u^{2}+X^{2}v^{2}+t^{2}u^{2}+t^{2}v^{2}+u^{2}v^{2})+8Xtuv\\&=X^{4}-2(t^{2}+u^{2}+v^{2})X^{2}+8tuvX+\left(t^{4}+u^{4}+v^{4}-2(t^{2}u^{2}+u^{2}v^{2}+v^{2}t^{2})\right)\\&=X^{4}-2(t^{2}+u^{2}+v^{2})X^{2}+8tuvX+\left((t^{2}+u^{2}+v^{2})^{2}-4(t^{2}u^{2}+u^{2}v^{2}+v^{2}t^{2})\right)\\\end{aligned}}$

ここで、 $X^{4}+pX^{2}+qX+r$ との係数比較を行うと、

${\begin{cases}p=-2(t^{2}+u^{2}+v^{2})\\q=8tuv\Leftrightarrow q^{2}=64t^{2}u^{2}v^{2}\\r=(t^{2}+u^{2}+v^{2})^{2}-4(t^{2}u^{2}+u^{2}v^{2}+v^{2}t^{2})\\\end{cases}}$

となる。ここで $T=4t^{2},U=4u^{2},V=4v^{2}$ とおくと

${\begin{cases}p=\displaystyle {\frac {1}{2}}(T+U+V)\\q^{2}=TUV\\r=\displaystyle {\frac {1}{16}}(T+U+V)-{\frac {1}{4}}(TU+UV+VT)\\\end{cases}}$

なので、ここから T, U, V の基本対称式について解く。

${\begin{cases}T+U+V=-2p\\TU+UV+VT=p^{2}-4r\\TUV=q^{2}\\\end{cases}}$

三次方程式の解と係数の関係より、 $t=T,U,V$ を3解に持つ方程式は $t^{3}+2pt^{2}+(p^{2}-4r)t-q^{2}=0$ とわかる。

以上より、 $X^{4}+pX^{2}+qX+r=0$ の解は $(X+y+z+w)(X+y-z-w)(X-y+z-w)(X-y-z+w)=0$ の解と同一である。 $q=8tuv$ に注意すると、

$X={\begin{cases}\pm (+t+u+v)=\displaystyle \pm {\frac {+{\sqrt {T}}+{\sqrt {U}}+{\sqrt {V}}}{2}}\\\pm (+t-u-v)=\displaystyle \pm {\frac {+{\sqrt {T}}-{\sqrt {U}}-{\sqrt {V}}}{2}}\\\pm (-t+u-v)=\displaystyle \pm {\frac {-{\sqrt {T}}+{\sqrt {U}}-{\sqrt {V}}}{2}}\\\pm (-t-u+v)=\displaystyle \pm {\frac {-{\sqrt {T}}-{\sqrt {U}}+{\sqrt {V}}}{2}}\\\end{cases}}$

ただし、複号は $q=\pm {\sqrt {T}}{\sqrt {U}}{\sqrt {V}}$ と同順とする。

関連項目

• 零次方程式 - 一次方程式 - 二次方程式 - 三次方程式 - 四次方程式 - 五次方程式