超越数

超越数（ちょうえつすう）とは、複素数のうち、代数的数でないもの、すなわち係数が整数の有限次方程式の解とならないようなものを言う。

概要

有理数の場合。

${\frac {a}{b}}$

なら

$ax-b=0$

というように必ず方程式の形に表すことができるので、全ての超越数は無理数である。

無理数であっても、例えば

${\sqrt {3}}$

${\sqrt[{7}]{2}}$

のように、平方根などの累乗根の形に表すことができるものは超越数ではない。同様に、黄金数も超越数ではない。

例

超越数の例としてよく知られているのは、円周率や自然対数の底である。その他、sinx、cosx、tanxは、xが0でない代数的数の場合は必ず超越数になることが知られている。無理数のほとんどすべては超越数であり、実数のほとんど全ては無理数であるため、ほとんど全ての実数は超越数であると言える。