行列値関数

行列値関数とは行列を変数に持つ特殊関数の総称である。

概要

n次正方行列Aと複素数上の関数fに対して、

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

ならば、

$f(A)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}A^{n}$

と定義するのが自然である。ただし、$A^{0}=E$(Eは単位行列)。 なお、一般に行列のn乗を計算するには対角化などがいる。
fがテイラー展開などのベキ級数表示を持たない場合は、別の方策が必要である。

例

行列指数関数

$e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}$

n次正方行列X,Y、複素数a,b、n次の単位行列と零行列E,Oに対して以下の性質をもつ。

• $e^{O}=E$(0乗)
• $e^{aX}e^{bX}=e^{a+b}X$(指数法則的)
• $e^{X}e^{-X}=E$(指数法則的)
• $XY=YX$のとき$e^{X}e^{Y}=e^{Y}e^{X}=e^{X+Y}$(指数法則的)
• $Y$が正則行列のとき$e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}$
• $e^{(X^{T})}=(e^{X})^{T}$(転置と交換可)
  • よって、$X$が対称行列のとき$e^{X}$も対称行列であり、Xが交代行列のとき$e^{X}$は直行行列である。
• $e^{(X^{*})}=(e^{X})^{*}$(エルミートと交換可)
  • よって、$X$がエルミート行列のとき$e^{X}$もエルミート行列であり、Xが歪エルミート行列のとき$e^{X}$はユニタリ行列である。

また、行列微分方程式の解に出現する。

${\frac {d}{dx}}y(x)=Ay(x),y(0)=y_{0}$

の解は、

$y(x)=e^{At}y_{0}$

行列の三角関数

$\cos(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}A^{2n}$

$\sin(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}A^{2n+1}$

行列の対数関数

行列指数関数の逆関数的に定義される。つまり、

$B=\log(A)\left(A=e^{B}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}B^{n}\right)$

与えられた行列が対数を持つための必要十分条件は、それが正則行列であること。
複素数の場合と同様に、行列の対数はしばしば一意ではない。

行列の平方根

行列の積の逆関数的に定義される。つまり、 行列の積に関して$B^{2}$が$A$に等しいときに、BをAの行列の平方根という。
行列の対数関数と同様に、行列の平方根はしばしば一意ではない。