群 (数学)

群（ぐん）は代数系の一つである。

ある集合「G」が演算「・」について群であるとは、次の3条件を満たすことである（定義）。

①任意のGの要素a, b, cについて(a・b)・c=a・(b・c)が成り立つ（結合法則）

②任意のGの要素aについてa・e=e・a=aを満たすeが存在する（単位元）

③任意のGの要素aについてa・x=x・a=eを満たすxが存在する（逆元）

単位元は一意である。逆元は要素aを固定すれば一意である。

勘のいい人はすでに気付いていると思うが、集合を固定すると演算によって群になったりならなかったりする。G：整数全体の集合とすると、・：加法ならば群となる（単位元：0、逆元：-a）。・：乗法ならば群にはならない。

また、演算を固定すると集合によって群になったりならなかったりする。・：乗法ならば整数全体の集合は群にならないが有理数全体の集合から0を除いたものは群になる（単位元：1、逆元：a^(-1)）。