約数の和が偶数になる数

本項では、約数の和が偶数の整数について説明する。

数列

正の約数の和が偶数になる自然数の数列は、

3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 82, 83 ...

このようになる。

約数の和

詳しくは約数#約数の和を参照

• 正の約数の和が奇数になる自然数は、平方数と平方数の2倍のみである。これは平方数の約数の個数が奇数個になることと偶数の素数が 2 しかないからである。よって、正の約数の和が偶数になる自然数は、平方数と平方数の2倍以外の自然数である。

$2^{n}$について

$2^{n}$の約数は、

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, ...

と最初から$n+1$個となる。よって、これらを足すと、$2^{n+1}-1$となることから奇数になり、偶数ではないことがわかる。