ヘロンの公式

ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから面積を求める公式である。

公式

3辺の長さを $a,b,c$ 、また $s={\frac {a+b+c}{2}}$ としたとき、三角形の面積を S とすると

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

s を使わないで表現することもできる。

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

例題

練習問題 : ヘロンの公式の利用1

3辺の長さが 6, 13, 17 の三角形の面積を求めよ。

解答例は右をクリックして表示！

ヘロンの公式より、面積Sは ${\begin{aligned}s&={\frac {6+13+17}{2}}=18\\S&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {18(18-6)(18-13)(18-17)}}\\&=6{\sqrt {30}}~~(=32.86\cdots )\end{aligned}}$

練習問題 : ヘロンの公式の利用2

3辺の長さが ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}$ の三角形の面積を求めよ。

解答例は右をクリックして表示！

ヘロンの公式より、面積Sは ${\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left({\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {5}}^{2}+{\sqrt {7}}^{2}\right)^{2}-2\left({\sqrt {3}}^{4}+{\sqrt {5}}^{4}+{\sqrt {7}}^{4}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(3+5+7)^{2}-2(3^{2}+5^{2}+7^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {15^{2}-2(9+25+49)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {225-166}}\\&={\frac {\sqrt {59}}{4}}~~(=1.92\cdots )\end{aligned}}$

証明

ここではピタゴラスの定理を用いて導出する。三角関数を用いてより簡潔に導出することもできる（後述）。

△ABCの各辺の長さを $a={\rm {BC}},b={\rm {CA}},c={\rm {AB}}$ とおく。

頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、 $h={\rm {AH}}$ とおく。

△ABHにピタゴラスの定理を適用し、 ${\rm {BH}}^{2}=c^{2}-h^{2}$

△ACHにピタゴラスの定理を適用し、 ${\rm {CH}}^{2}=b^{2}-h^{2}$

辺BCの長さをBHとCHを用いて表すと、点Hが辺BC上にある場合とない場合で場合分けされ $a=\pm {\rm {BH}}\pm {\rm {CH}}$（複号任意） となる。よって、

${\begin{aligned}\pm {\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\pm {\sqrt {b^{2}-h^{2}}}&=a\\\pm {\sqrt {c^{2}-h^{2}}}&=a\pm {\sqrt {b^{2}-h^{2}}}\\c^{2}-h^{2}&=a^{2}+b^{2}-h^{2}\pm 2a{\sqrt {b^{2}-h^{2}}}\\\pm 2a{\sqrt {b^{2}-h^{2}}}&=a^{2}+b^{2}-c^{2}\\4a^{2}(b^{2}-h^{2})&=(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\b^{2}-h^{2}&={\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\h^{2}&=b^{2}-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\h&={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2a}}\end{aligned}}$

こうして求められたhから△ABCの面積Sを求めると、

${\begin{aligned}S={\frac {1}{2}}ah&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}~~~~\cdots (*)\end{aligned}}$

しかし、 a, b, c は本来対等なはずなのに式の形が対称になっていない。そこで、因数分解または展開することにより、対称式の形に整えていく。

因数分解する

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}~~~~\cdots (1)\end{aligned}}$

さらに $s={\frac {a+b+c}{2}}$ とおくと、

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {16s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}~~~~\cdots (2)\end{aligned}}$

よく見るヘロンの公式の形に変形できた。

展開する

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}~~~~\cdots (3)\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2})-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}~~~~\cdots (4)\end{aligned}}$

最後まで展開した形は(3)だが、(4)の形も参考までに示す。

余弦定理を用いた導出法

(*)の導出まで示す。対称式の形に変形する過程は上記と同様。

△ABCにおいて $a={\rm {BC}},b={\rm {CA}},c={\rm {AB}},C=\angle {\rm {ACB}}$ とおく。

第2余弦定理より、 $\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

また、sinを用いた三角形の面積公式より、

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin {C}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-\cos ^{2}{C}}}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-\left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}~~~~\cdots (*)\end{aligned}}$