ヘロンの公式

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ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから面積を求める公式である。

公式[編集]

3辺の長さを 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a, b, c} 、また 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}} としたとき、三角形の面積を S とすると

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}

s を使わないで表現することもできる。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S = \frac{1}{4}\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S = \frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)}}
構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle S = \frac{1}{4}\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)}}

例題[編集]

練習問題 : ヘロンの公式の利用1
3辺の長さが 6, 13, 17 の三角形の面積を求めよ。

解答例
ヘロンの公式より、面積Sは

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} s &= \frac{6 + 13 + 17}{2} = 18\\ S &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\\ &= \sqrt{18(18 - 6)(18 - 13)(18 - 17)}\\ &= 6\sqrt{30} ~~(= 32.86\cdots) \end{align}}
練習問題 : ヘロンの公式の利用2
3辺の長さが 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}} の三角形の面積を求めよ。

解答例
ヘロンの公式より、面積Sは

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{4}\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{\left(\sqrt{3}^2 + \sqrt{5}^2 + \sqrt{7}^2\right)^2 - 2\left(\sqrt{3}^4 + \sqrt{5}^4 + \sqrt{7}^4\right)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(3 + 5 + 7)^2 - 2(3^2 + 5^2 + 7^2)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{15^2 - 2(9 + 25 + 49)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{225 - 166}\\ &= \frac{\sqrt{59}}{4} ~~(= 1.92\cdots) \end{align}}

証明[編集]

ここではピタゴラスの定理を用いて導出する。三角関数を用いてより簡潔に導出することもできる(後述)。

△ABCの各辺の長さを 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a = {\rm BC}, b = {\rm CA}, c = {\rm AB}} とおく。

頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle h = {\rm AH}} とおく。


△ABHにピタゴラスの定理を適用し、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle {\rm BH}^2 = c^2 - h^2}

△ACHにピタゴラスの定理を適用し、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle {\rm CH}^2 = b^2 - h^2}

辺BCの長さをBHとCHを用いて表すと、点Hが辺BC上にある場合とない場合で場合分けされ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a = \pm {\rm BH} \pm {\rm CH} } (複号任意) となる。よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \pm \sqrt{c^2 - h^2} \pm \sqrt{b^2 - h^2} &= a\\ \pm \sqrt{c^2 - h^2} &= a \pm \sqrt{b^2 - h^2}\\ c^2 - h^2 &= a^2 + b^2 - h^2 \pm 2a\sqrt{b^2 - h^2}\\ \pm 2a\sqrt{b^2 - h^2} &= a^2 + b^2 - c^2\\ 4a^2(b^2 - h^2) &= (a^2 + b^2 - c^2)^2\\ b^2 - h^2 &= \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2}\\ h^2 &= b^2 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2}\\ &= \frac{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2}\\ h &= \frac{\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{2a} \end{align}}

こうして求められたhから△ABCの面積Sを求めると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S = \frac{1}{2}ah &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2} ~~~~\cdots (*) \end{align}}

しかし、 a, b, c は本来対等なはずなのに式の形が対称になっていない。そこで、因数分解または展開することにより、対称式の形に整えていく。

因数分解する[編集]

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(2ab + a^2 + b^2 - c^2)(2ab - a^2 - b^2 + c^2)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{((a + b)^2 - c^2)(c^2 - (a - b)^2)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} ~~~~\cdots (1) \end{align}}

さらに 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}} とおくと、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{4}\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{16s(s - a)(s - b)(s - c)}\\ &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} ~~~~\cdots (2) \end{align}}

よく見るヘロンの公式の形に変形できた。

展開する[編集]

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)} ~~~~\cdots (3)\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2) - 2(a^4 + b^4 + c^4)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)} ~~~~\cdots (4) \end{align}}

最後まで展開した形は(3)だが、(4)の形も参考までに示す。

余弦定理を用いた導出法[編集]

(*)の導出まで示す。対称式の形に変形する過程は上記と同様。

△ABCにおいて 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a = {\rm BC}, b = {\rm CA}, c = {\rm AB}, C = \angle{\rm ACB}} とおく。

第2余弦定理より、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}

また、sinを用いた三角形の面積公式より、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{2}ab\sin{C}\\ &= \frac{1}{2}ab\sqrt{1 - \cos^2{C}}\\ &= \frac{1}{2}ab\sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2}\\ &= \frac{1}{2}ab\sqrt{1 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2}}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2} ~~~~\cdots (*) \end{align}}

関連項目[編集]