ヘロンの公式

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ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから面積を求める公式である。

公式[編集]

3辺の長さを 、また としたとき、三角形の面積を S とすると

s を使わないで表現することもできる。

例題[編集]

練習問題 : ヘロンの公式の利用1
3辺の長さが 6, 13, 17 の三角形の面積を求めよ。

解答例
ヘロンの公式より、面積Sは

練習問題 : ヘロンの公式の利用2
3辺の長さが の三角形の面積を求めよ。

解答例
ヘロンの公式より、面積Sは

証明[編集]

ここではピタゴラスの定理を用いて導出する。三角関数を用いてより簡潔に導出することもできる(後述)。

△ABCの各辺の長さを とおく。

頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、 とおく。


△ABHにピタゴラスの定理を適用し、

△ACHにピタゴラスの定理を適用し、

辺BCの長さをBHとCHを用いて表すと、点Hが辺BC上にある場合とない場合で場合分けされ (複号任意) となる。よって、

こうして求められたhから△ABCの面積Sを求めると、

しかし、 a, b, c は本来対等なはずなのに式の形が対称になっていない。そこで、因数分解または展開することにより、対称式の形に整えていく。

因数分解する[編集]

さらに とおくと、

よく見るヘロンの公式の形に変形できた。

展開する[編集]

最後まで展開した形は(3)だが、(4)の形も参考までに示す。

余弦定理を用いた導出法[編集]

(*)の導出まで示す。対称式の形に変形する過程は上記と同様。

△ABCにおいて とおく。

第2余弦定理より、

また、sinを用いた三角形の面積公式より、

関連項目[編集]