サイクロイド

サイクロイドとは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称。一般には、サイクロイドといえば直線上を回転するものを指す。擺線(はいせん)とも。

概要

サイクロイドは、トロコイドの一種である。

性質

• サイクロイドの半アーチ分の伸開線は、自身と合同なサイクロイドになる
• サイクロイドの縮閉線は、自身と合同なサイクロイドになる
• 円が1回転したときの定点の軌跡の長さは、円の半径の8倍
• 円が1回転したときの定点の軌跡と直線(多くの場合x軸とする)で囲まれた部分の面積は、円の面積の3倍
• サイクロイドは、微分方程式

$(y')^{2}={\frac {2r}{y}}-1$

$y''=-{\frac {r}{y^{2}}}$

の解である

媒介変数表示

媒介変数表示では、rを半径、回転角をθとして、

• $x=r(\theta -sin\theta )$
• $y=r(1-\cos \theta )$

と表せられる。

関連項目

• エピサイクロイド
• ハイポサイクロイド

• アステロイド
• カージオイド

• サイクロイド振り子