√2の√2乗

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\sqrt{2}^\sqrt{2} = 1.6325269194... は、無理数の1つ。

この数が無理数であることは、ゲルフォント=シュナイダーの定理を用いて証明することができる。しかしこの定理は非常に難しく、ヒルベルトの23の問題の第7問題として証明されるまでに34年を要したほどである。

無理数の無理数乗は必ず無理数か?[編集]

ところが、この数が無理数かどうかを証明せずとも「(無理数)(無理数) は必ず無理数か?」という問いに答えることが可能である。

(1) √2の√2乗が有理数だったとき[編集]

\sqrt{2} は無理数であり、 \sqrt{2}^\sqrt{2} は有理数と仮定している。よって、 \sqrt{2}^\sqrt{2} は (無理数)(無理数) の形で表される有理数である。

(2) √2の√2乗が無理数だったとき[編集]

\sqrt{2}^\sqrt{2} は無理数と仮定している。これを \sqrt{2} 乗した \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} は (無理数)(無理数) の形で表される数である。ここで、

\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2

であり、 2 は有理数なので、 \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = 2 は (無理数)(無理数) の形で表される有理数である。

(1)(2)のいずれの場合でも、 (無理数)(無理数) の形で表される有理数が少なくとも1つ存在する。よって、 (無理数)(無理数)必ず無理数というわけではない

この証明の面白さは、前述したとおり「\sqrt{2}^\sqrt{2}が有理数であっても無理数であっても、同じ結論を導くことができる」という点である。このことから、この数は一部の数学ファンから愛されている。

なお、「(無理数)(無理数) の形で表される有理数」は他にも e^{\ln 2} = 2 などが存在する。しかし、 \sqrt{2} であれば高校数学の範囲で無理数であることが証明できるものの、 ln 2 が無理数である証明にはリンデマンの定理などを用いる必要があり、簡単ではない。