√2の√2乗

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ = 1.6325269194... は、無理数の1つ。

この数が無理数であることは、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を用いて証明することができる（同定理によると、この数は超越数であるから当然に無理数である）。なお、この定理は非常に難しく、ヒルベルトの23の問題の第7問題として証明されるまでに34年を要した。

無理数の無理数乗は必ず無理数か？

ところが、この数が無理数かどうかを証明せずとも「(無理数)^(無理数) は必ず無理数か？」という問いに答えることが可能である（ ${\sqrt {2}}$ が無理数であるという事実は証明なしに使用する）。

(1) ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ が有理数だったとき

(無理数)^(無理数) が有理数になるケースが得られた。

(2) ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ が無理数だったとき

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$

であり、2は有理数なので、この場合も (無理数)^(無理数) が有理数になるケースが得られた。

(1)(2)のいずれの場合でも、 (無理数)^(無理数) の形で表される有理数が少なくとも1つ存在する。よって、 (無理数)^(無理数) は必ず無理数というわけではない。

この証明の面白さは、前述したとおり「${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$が有理数であっても無理数であっても、同じ結論を導くことができる」という点である。このことから、この数は数オタ一部の数学ファンから愛されている。

その他の証明法

$x^{x}=2$ の解が無理数であることを使った方法もある。この証明の面白さは「x の値を求めなくても結論を導くことができる」という点である。

$x^{x}=2$ の解 x が有理数だと仮定すると、互いに素な自然数 m, n を用いて $x={\frac {m}{n}}$ と表せる。

${\left({\frac {m}{n}}\right)}^{\frac {m}{n}}=2$ の両辺を n 乗して整理すると $m^{m}={2^{n}}{n^{m}}$ となる。

両辺は自然数であり、右辺が n の倍数なので左辺も n の倍数となるが、これは m と n が互いに素であることに矛盾する。

ゆえに仮定は誤りであり、$x^{x}=2$ の解 x は無理数とわかる。これは (無理数)^(無理数) が有理数になるケースである。

よって、 (無理数)^(無理数) は必ず無理数というわけではない。

「(無理数)^(無理数) の形で表される有理数」は他にも ${\sqrt {2}}^{\log _{2}{9}}=3$ などが存在する。 ${\sqrt {2}}$ も $\log _{2}{9}$ も高校数学の範囲内で無理数であることが証明できるため、実はわざわざ場合分けをしなくても「(無理数)^(無理数) は必ず無理数というわけではない」と答えることが可能である。

なお、 $e^{\ln 2}=2$ の場合、ln 2 が無理数である証明にはリンデマンの定理などを用いる必要があり、簡単ではない。