√2の√2乗

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構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}^\sqrt{2}} = 1.6325269194... は、無理数の1つ。

この数が無理数であることは、ゲルフォント=シュナイダーの定理を用いて証明することができる。しかしこの定理は非常に難しく、ヒルベルトの23の問題の第7問題として証明されるまでに34年を要したほどである。

無理数の無理数乗は必ず無理数か?[編集]

ところが、この数が無理数かどうかを証明せずとも「(無理数)(無理数) は必ず無理数か?」という問いに答えることが可能である。

(1) √2の√2乗が有理数だったとき[編集]

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}} は無理数であり、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}^\sqrt{2}} は有理数と仮定している。よって、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}^\sqrt{2}} は (無理数)(無理数) の形で表される有理数である。

(2) √2の√2乗が無理数だったとき[編集]

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}^\sqrt{2}} は無理数と仮定している。これを 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}} 乗した 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}} は (無理数)(無理数) の形で表される数である。ここで、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2}

であり、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 2} は有理数なので、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = 2} は (無理数)(無理数) の形で表される有理数である。

(1)(2)のいずれの場合でも、 (無理数)(無理数) の形で表される有理数が少なくとも1つ存在する。よって、 (無理数)(無理数)必ず無理数というわけではない

この証明の面白さは、前述したとおり「構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}^\sqrt{2}} が有理数であっても無理数であっても、同じ結論を導くことができる」という点である。このことから、この数は一部の数学ファンから愛されている。

その他の証明法[編集]

「(無理数)(無理数) の形で表される有理数」は他にも 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle {\sqrt{2}}^{\log_2{9}} = 3} などが存在する。 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sqrt{2}}構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \log_2{9}} も高校数学の範囲内で無理数であることが証明できるため、実はわざわざ場合分けをしなくても「(無理数)(無理数) は必ず無理数というわけではない」と答えることが可能である。

なお、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle e^{\ln 2} = 2} の場合、 ln 2 が無理数である証明にはリンデマンの定理などを用いる必要があり、簡単ではない。