誕生日のパラドックス

誕生日のパラドックス（たんじょうびのパラドックス）とは、ある人数を集めた際に、その中に同じ誕生日の2人組がいる確率が直感より高くなるというパラドックスである。

この確率を考えるには、「n人を集めた際に、n人の誕生日が全て異なる確率」を1から引くことで求められる。ここでは閏年については考えないものとし、365日の中で考える。また、どの日についても誕生日である確率は等しいものとする。366人以上いれば、同じ誕生日の人が必ずいることは自明であるので、365人以下の場合で「n人を集めた際に、n人の誕生日が全て異なる確率」を考える。

1人目の誕生日はいつでも良いが、2人目の誕生日は1人目の誕生日以外の日でなければならず、ここまでの2人の誕生日が異なる確率は364/365となる。同様にして、3人目の誕生日は1人目とも2人目とも異ならなければならず、3人の誕生日が全て異なる確率は(364/365)*(363/365)である。

このように計算していくと、早くも23人目で少なくとも2人の誕生日が一致する確率は50%を超える。一般的なクラスの人数は40人であるが、この人数で少なくとも2人の誕生日が一致する人数は90%近くになる。仮に1学年に3クラスあったとして、120人では99.9999999756%となる。120人の誕生日が全員異なる確率は40億分の1未満ということになる。直感的には1年の日数の半分を超えた183人で確率が50%を超えるようにも思えるが、183人での確率を計算すると99.999999999999999999999952%となる。183人の誕生日が全て異なる確率は1兆分の1の2兆分の1を下回るという計算になる。ちなみに、365人集めた際に365人の誕生日が全て異なるという奇跡が起こる確率は1.45×10^-157で、これは年末ジャンボ宝くじで22回連続1等を当てる確率より低い。