商の微分法

数学の微積分学分野に於ける商の微分法とは2つの関数を割り算「$f(x)\div g(x)$」したよーな形になっている関数の微分の事である。

概要

2つの関数を$f=f(x),g=g(x)$とおいた時商の微分法の公式は次のように表わされる。；

• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$

(ただし$g(x)\neq 0$である。)

証明

微分する関数を$h(x)=f(x)/g(x)$とおいてこの関数の増分を$\Delta h$と書く事にすれば導関数の定義式より以下の如き極限が成り立つ。； ${\begin{aligned}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}&={\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}={\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}\\&={\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x)g(x+\Delta x)}}\\&={\frac {1}{g(x)g(x+\Delta x)}}\left\{{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}g(x)-f(x){\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right\}\\&\to {\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},(\Delta x\to 0)\end{aligned}}$ 尚、計算の途中で同じ物「$f(x)g(x)$」を引いて足すとゆー変形を行った。(証明終)

※ちなみに$f=gh$とおいて積の微分法を使うと$f'=g'h+gh'$より $h'={\frac {f'-g'h}{g}}={\frac {f'-g'(f/g)}{g}}={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ っちゅー感じで別証できる☆

またfを1とおけば上述の定理の系として

• $\left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}$

が得られる。

利用例

商の微分法の系より $(x^{-n})'=\left({\frac {1}{x^{n}}}\right)'=-{\frac {nx^{n-1}}{x^{2n}}}=-nx^{-n-1}$ が成り立つ。従って微分の公式$(x^{n})'=nx^{n-1}$はnが負の整数の時でも成立する事が証明できた。

関連項目

• 積の微分法