双子素数

双子素数 (ふたごそすう) は、ある素数 p に対して p+2 も素数であるとき、そのペア (p, p+2) を指す言葉。つまり、差が2の素数の組といえる。

具体例

以下に100以下の双子素数を挙げる。 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), …

双子素数予想

双子素数が無限に存在するという予想。素数が無限にあることは以前から知られているが、双子素数に関しては未だ解明されていない。

定理

• (3, 5)のペアを除き、中間の数 p+1 が6の倍数である。

【証明】n：必ずしも素数とは限らない自然数(≧5)とする

n≡0, 2, 4(mod.6)のとき、nは偶数なので素数になりえない。i.e. (n, n＋2)は双子素数になりえない。

n≡3(mod.6)のとき、nは3の倍数。このときも(n, n＋2)は双子素数になりえない。

n≡1(mod.6)のとき、n＋2≡3、つまり3の倍数。このときも同様。

n≡5のときに限り(n, n＋2)が双子素数になる可能性がある。このときn＋1≡0。証明終わり。

その他、素数の組に関する呼称

いとこ素数

(p, p+4) の組。つまり、差が4の素数の組。

例: (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), …

セクシー素数

(p, p+6) の組。つまり、差が6の素数の組。語源はラテン語で「6」を「sex」と呼ぶことから。

例: (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67), (67, 73), (73, 79), (83, 89), (97, 103), …

三つ子素数

(p, p+2, p+6) または (p, p+4, p+6) の組。つまり、双子素数の片方がいとこ素数の片方と一致する場合である。それでは「三つ子」じゃなくて「双子といとこ」ではないかと突っ込んではいけない。

例: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), …

四つ子素数

(p, p+2, p+6, p+8) の組。つまり、双子素数の片割れ同士がいとこ素数となる場合である。

例: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), …

五つ子素数

(p, p+2, p+6, p+8, p+12) または (p, p+4, p+6, p+10, p+12) の組。つまり、四つ子素数の1番目または4番目が別のいとこ素数の片方と一致する場合である。

例: (5, 7, 11, 13, 17), (7, 11, 13, 17, 19), (11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109), (101, 103, 107, 109, 113), …

六つ子素数

(p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16) の組。つまり、四つ子素数の1番目と4番目の両方がそれぞれ別のいとこ素数の片方と一致する場合である。

例: (7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), …