三つ子素数

三つ子素数（みつごそすう, 英: prime triplet）は、素数3個の組のうち次のような性質を持つものである:

3個の組のうち最小のものをpとする。このとき(p, p+2, p+6)または(p, p+4, p+6)がいずれも素数であるとき、これらは三つ子素数（または三つ組素数）である（定義）

言い換えると一組の双子素数と、双子の片割れのいとこからなる3人組である。無数に存在すると予想されているが、証明はまだ（のはずだ）。

注意事項

(p, p+2, p+4)の形の組は三つ子素数とは呼ばない。(3, 5, 7)はこの条件を満たすが、p≥5なる素数に対しこの条件を満たす組は決して存在しない。一つ存在して一つに限るものを何らかのカテゴリに分類しても仕方ない、と言うのが理由かもしれない。そういえばどこかのWikiサイトでは記事が5個集まるまでカテゴリは立項しないんだっけ？

一つ存在して一つに限ることを一応証明しておく。

p≥5なる素数に対し、

p(p+2)(p+4) = p^3 + 6*p^2 + 8p = (p^3 + 3*p^2 + 2p) + 3*p^2 + 6p = p(p+1)(P+2) + 3(p^2 + 2p)

これは3の倍数である（p≥5なる素数3個の積ではありえない）。ここで、連続する3個の自然数の積は3の倍数になるという事実を使用した（連続する3個ならば必ずどれかが3の倍数となる）。Q.E.D.