偶関数と奇関数

偶関数あるいは奇関数は、特定の対称性を満足する関数である。

定義

$f(x)=f(-x)$

のとき、f(x)は偶関数である。

$f(x)=-f(-x)$

のとき、f(x)は奇関数である。

例

偶関数

• 偶数次べき関数（例：$x^{2}$）
• 定数関数（$C$）
• 余弦関数（$\cos(x)$）
• 双曲線余弦関数（$\cosh(x)$）
• sinc関数（$\operatorname {sinc} (x)$）
• 絶対値関数（$|x|$）

奇関数

• 奇数次べき関数（例：$x^{3}$）
• 正弦関数（$\sin(x)$）
• 正接関数（$\tan(x)$）
• 双曲線正弦関数（$\sinh(x)$）
• 逆正弦関数（$\sin ^{-1}(x)$）
• 逆正接関数（$\tan ^{-1}(x)$）
• 逆双曲線正弦関数 （$\sinh ^{-1}(x)$）

性質

グラフ

• 偶関数 f(x)は、xy-平面上にy=f(x)のグラフを描いたときy軸に関して対称（線対称）になる。
• 奇関数 f(x)は、xy-平面上にy=f(x)のグラフを描いたとき原点Oに関して対称（点対称）になる。特に、f(0)が定義されているならばf(0)=0である。

合成など

線形結合

• 奇関数と偶関数の和は一般には奇関数でも偶関数でない。（例：$x+x^{2}$）
• 複数の偶関数の線型結合は偶関数である。（例：$x^{2}+x^{4}$）
• 複数の奇関数の線型結合は奇数関数である。（例：$x+x^{3}$）

積

• 2つの偶関数の積は偶関数（例：$x^{2}\cdot x^{4}=x^{6}$）
• 2つの奇関数の積は偶関数（例：$x\cdot x^{3}=x^{4}$）
• 奇関数と偶関数の積は奇関数（例：$x^{1}\cdot x^{2}=x^{3}$）

微分

• 偶関数が微分可能なとき、その1回微分は奇関数である。（例：${\frac {d}{dx}}x^{2}=2x$）
• 奇関数が微分可能なとき、その1回微分は偶関数である。（例：${\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$）

任意の関数について

• 任意の関数f(x)に対してf(x)+f(−x)は偶関数である。
• 任意の関数f(x)に対してf(x)−f(−x)は奇関数である。
• 単射な奇関数f(x)の逆関数$f^{-1}(x)$は奇関数である。

展開・級数

• 偶関数の0まわりのテイラー級数は偶数次の項だけを持つべき級数である。（例：$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$）
• 奇関数の0まわりのテイラー級数は奇数次の項だけを持つべき級数である。（例：$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$）
• 周期的な偶関数のフーリエ級数はcosの項だけで構成される。（例：$\cos(x)$）
• 周期的な奇関数のフーリエ級数はsinの項だけで構成される。（例：$\sin(x)$）