よみもの:解析力学

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解析力学(かいせきりきがく、analytical mechanics)は、主に直交座標を用いて記述されたニュートン力学数学的に洗練し、様々な状況を簡単に数式で表すためにオイラー、ラグランジュ、ハミルトン等によって作られた力学の体系である。古典力学の集大成であり、解析力学的な考え方は統計力学量子力学相対性理論などの現代物理学に引き継がれている。

ここはそんな解析力学を一から導出してしまおう、という趣旨で書いてみた記事である。最終的には、ここにわかりやすい教科書のようなものが出来上がればいいな。

序論[編集]

位置と速度[編集]

ある座標系に存在する全ての物体の位置座標構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): q_{i} をずらーっと並べて書いた集合を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{q_{i}\} と表し、これを位置と呼ぶ(たとえば、3次元直交座標系にN個の質点がある場合、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{q_{i}\} の成分の数は3N個となる)。

位置の各成分を時間で微分したものの集合、すなわち構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{{\dot {q}}_{i}\}速度と呼ぶ。

このとき、各構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): q_{i} および構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {q}}_{i} はそれぞれ時刻構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): t の関数であるから、それぞれ

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): q_{i}=q_{i}(t)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {q}}_{i}={\dot {q}}_{i}(t)

と表せる。

とりあえず、ある時刻の構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): (\{q_{i}\})配置と呼び、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{q_{i}(t)\} の関数形を過程と呼ぶことにする。

保存力とポテンシャル[編集]

直交座標系構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): (\{x_{j}\}) において、位置構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): (\{x_{j}\}) と時刻構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): t の関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): U=U(\{x_{j}\},t) を用いて、力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): f_{j}構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): f_{j}=-{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}} と表せるとき、この力を保存力と呼び、

そしてこのときの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): Uポテンシャルと呼ぶ。

また、保存力でない力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): f_{j}=s_{j}非保存力と呼ぶ

ラグランジュ形式[編集]

解析力学の基礎には、物理学に様々な形で登場する変分原理の一つであるハミルトンの原理が登場する。変分原理は他にも、光に適用できるフェルマーの原理や、電磁気学におけるディリクレの原理などがある。このような考え方は量子力学の基礎にもなっている。ここでは、ニュートン力学とハミルトンの原理から、ニュートンの運動方程式よりも適用範囲の広いラグランジュ方程式を導出する。

ハミルトンの原理[編集]

非保存力が存在しない系が配置A(時刻:構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): t_{A} )から配置B(時刻:構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): t_{B} )に変化するとき、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)dt

とおき、いまのところ謎の関数構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): L=L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t) に含まれる構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{q_{i}\} の各成分を、微小な構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta q_{i}=\delta q_{i}(t) だけ変化させるとき、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{{\dot {q}}_{i}\} の各成分も微小に構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta {\dot {q}}_{i}={\frac {d}{dt}}\delta q_{i}(t) だけ変化することになる。

ただし、配置A、配置Bそれぞれのときの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{q_{i}\} はすでに決めたため、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta q_{i}(t_{A})=\delta q_{i}(t_{B})=0 である。

このとき、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): L の変化量は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta L=L(\{q_{i}+\delta q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i}\},t)-L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)

である。さらに、このときの構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): I の変化量は

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}L(\{q_{i}+\delta q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i}\},t)dt-\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)dt  

すなわち、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I = \int_{t_A}^{t_B} ( L (\{q_i +\delta q_i \}, \{\dot{q}_i +\delta\dot{q}_i\}, t) -L (\{q_i \}, \{\dot{q}_i \}, t) ) dt

である。よって

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}\delta Ldt

である。 このとき、"構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=0 となるような過程のみが実現する"と仮定する。

そして、この仮定をハミルトンの原理と呼び、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): I作用と呼び、

ハミルトンの原理をみたす構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): Lラグランジアンと呼ぶ。

ラグランジュ方程式[編集]

さて、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \{q_{i}\} のある1成分構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): q_{i} のみを構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta q_{i} だけ微小変化させるとき、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {q}}_{i} も微小に構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta {\dot {q}}_{i} だけ微小変化することになる。よって、このとき構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): L は、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta L={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i} だけ変化することになる。よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i})dt

となる。よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}dt+\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i}dt

である。ここで第2項にのみ部分積分を用いると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}dt+[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}]_{{t_{A}}}^{{t_{B}}}-\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})\delta q_{i}dt

となる。第1項と第3項をまとめ、第2項を展開すると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})\delta q_{i}dt+({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t_{B})\delta q_{i}(t_{B})-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t_{A})\delta q_{i}(t_{A}))

となる。ここで構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta q_{i}(t_{A})=\delta q_{i}(t_{B})=0 だったから、後半部分が0となり、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=\int _{{t_{A}}}^{{t_{B}}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})\delta q_{i}dt

となる。ここで、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta q_{i}=\delta q_{i}(t) がどんな関数形だったとしても構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \delta I=0 となるためには

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0

となっていればよい。この式をラグランジュ方程式と呼ぶ。

ラグランジュ方程式は、ハミルトンの原理と同じことを言っている式である。

ラグランジアンの具体的な形[編集]

直交座標を用いてある系の運動エネルギーの合計構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T を表すと、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T=\sum _{{j}}{\frac {1}{2}}m_{j}{\dot {x_{j}}}^{2}

となる。ここで構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): m_{j} は、各構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {x}}_{j} に対応する質量である。この式から、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{j}}}=m_{j}{\dot {x}}_{j}

である。また、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T=T(\{{\dot {x}}_{j}(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})\}) と表せることから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{j}}}

である。また、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): x_{j}=x_{j}(\{q_{i}(t)\}) と表せることから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot x}_{j}=\sum _{{i}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}{\dot q}_{i}

である。よって

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial {\dot x}_{j}}{\partial {\dot q}_{i}}}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}

となる。以上のことから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j}

である。ここで、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): p_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}} とおく。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): p_{i}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j}

となる。両辺を時間で微分すると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}={\frac {d}{dt}}(\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j})

となる。ここで、各構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): m_{i} は時間変化しないから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=\sum _{{j}}m_{j}{\frac {d}{dt}}({\dot {x}}_{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}})

となる。ここで、時間微分の部分を展開してシグマを2つに分けると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\ddot {x}}_{j}+\sum _{{i}}{\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j}

また、ニュートン力学の運動方程式より、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): f_{j}=m_{j}{\ddot {x}}_{j}

である。以上のことから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}f_{j}+\sum _{{j}}{\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {q}_{i}}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{j}}}

である。よって

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}f_{j}+{\frac {\partial T}{\partial {q}_{i}}}

である。ここで、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): F_{i}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}f_{j} とおき、これをと呼ぶ。すると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=F_{i}+{\frac {\partial T}{\partial {q}_{i}}}

となる。ここで、直交座標においての力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): f_{i} が保存力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): -{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}} と非保存力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): s_{j} で構成されているとき、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): F_{i}=\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}(-{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}+s_{j})

であるから

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): F_{i}=-\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}+\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}s_{j}

となり

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): F_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {q}_{i}}}+\sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}s_{j}

となる。ここで、非保存力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): s_{j} から導かれた力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \sum _{{j}}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}s_{j}構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): S_{i} と表し、これも非保存力と表すことにすると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): F_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}

となる。以上のことから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}+{\frac {\partial T}{\partial {q}_{i}}}

である。第1項と第3項をまとめると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}

となる。ここで、運動量の定義から

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}

である。また、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): U=U(\{x_{i}(\{q_{i}\})\},t) と表せるから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0

である。以上のことから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {d}{dt}}({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}})={\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}

となり、よって

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-U)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}=S_{i}

である。ここで、直交座標においての非保存力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): s_{j} がすべて0のとき、非保存力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): S_{i} もすべて0であるから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-U)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}=0

となる。これはラグランジュ方程式そのものであるから、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T-U はラグランジアンであるといえる。

そこで、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): L=T-U とおくと、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

であり、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0 であったから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

であり、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}

であることがわかる。これを運動量と呼ぶ。

また、ある時刻の位置と運動量をすべて並べて書いた構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\{q_i \},\{p_i \})}状態と呼ぶ。

ハミルトン形式[編集]

ニュートン力学の適用範囲を広げたラグランジュ形式であったが、ここでは、ラグランジュ方程式からさらに適用範囲を広げたハミルトンの正準方程式を導出する。その際、ルジャンドル変換という数学的テクニックが用いられているが、それは知らなくても理解できる。

ハミルトンの正準方程式[編集]

以下では、非保存力構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): S_{i} がない場合について考える。このとき、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): H=\sum _{{i}}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L

とおき、これをハミルトニアンと呼ぶ。すると、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): H の微小変化構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): dH は、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): dH=\sum _{{i}}(dp_{i}{\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})-dL

であり、よって

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): dH=\sum _{{i}}(dp_{i}{\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})-\sum _{{i}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}

となる。ここで、前節より

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}

だったから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle dH=\sum_{i}(dp_i\dot{q}_i + p_id\dot{q}_i) - \sum_{i}p_id\dot{q}_i}

であり、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): dH=\sum _{{i}}{\dot {q}}_{i}dp_{i}

である。よって、全微分と偏微分の関係から

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial {p}_{i}}}

とわかる。

また、ハミルトニアンの定義より、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {q}_{i}}}

であり、また

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}

であったから

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}}

となる。以上で

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial {p}_{i}}}


構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}}


の2式が導けた。この2式をハミルトンの正準方程式と呼ぶ。

位相空間[編集]

対象としている系に属する全ての物体の位置と運動量を成分とする座標構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\{q_i \}, \{p_i \})} を考え、この座標によって表される空間を位相空間と呼ぶ。系の状態はこの空間の点によって表され、この点を系の代表点と呼ぶ。代表点はハミルトンの正準方程式に従い時刻とともに動いていき、位相空間内に軌道を描く。この軌道をトラジェクトリと呼ぶ。

リウヴィルの定理[編集]

リウヴィルの定理とは、位相空間においての代表点が時間の経過とともにどこかに集まってしまったり、逆に散らばってしまうことはないという定理である。以下で証明する。

ある代表点構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i} の近傍における代表点の数密度を構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \rho = \rho(\{q_i \}, \{p_i \},t)} とおく。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i} の位相空間内での「速度」は構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\{\dot{q_i} \}, \{\dot{p_i} \})} と表せる。このとき、代表点が増減しないことから、連続の方程式が成立し、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} =-\sum_{i}(\frac{\partial}{\partial q_i}(\rho\dot{q}_i)+\frac{\partial}{\partial p_i}(\rho\dot{p}_i))}  

が成り立つ。これを展開すると

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} =-\sum_{i}(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\rho\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i+\rho\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i})}

となる。ここにハミルトンの正準方程式を代入すると、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} =-\sum_{i}(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\rho\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial {p}_i}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i-\rho\frac{\partial}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial {q}_i})}

よって

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} =-\sum_{i}(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i)}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0=\frac{\partial \rho}{\partial t} +\sum_{i}(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i)}


となる。ここで、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t} +\sum_{i}(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i)}

である。以上の2式より、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替(最新ブラウザーや補助ツールに推奨): サーバー「https://api.formulasearchengine.com/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d\rho}{dt}=0}

が成り立つ。

参考文献[編集]