よみもの:解析力学

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解析力学（かいせきりきがく、analytical mechanics）は、主に直交座標を用いて記述されたニュートン力学を数学的に洗練し、様々な状況を簡単に数式で表すためにオイラー、ラグランジュ、ハミルトン等によって作られた力学の体系である。古典力学の集大成であり、解析力学的な考え方は統計力学、量子力学、相対性理論などの現代物理学に引き継がれている。

ここはそんな解析力学を一から導出してしまおう、という趣旨で書いてみた記事である。最終的には、ここにわかりやすい教科書のようなものが出来上がればいいな。

序論

位置と速度

ある座標系に存在する全ての物体の位置座標$q_{i}$をずらーっと並べて書いた集合を$\{q_{i}\}$と表し、これを位置と呼ぶ(たとえば、3次元直交座標系にN個の質点がある場合、$\{q_{i}\}$の成分の数は3N個となる)。

位置の各成分を時間で微分したものの集合、すなわち$\{{\dot {q}}_{i}\}$を速度と呼ぶ。

このとき、各$q_{i}$および${\dot {q}}_{i}$はそれぞれ時刻$t$の関数であるから、それぞれ

$q_{i}=q_{i}(t)$

${\dot {q}}_{i}={\dot {q}}_{i}(t)$

と表せる。

とりあえず、ある時刻の$(\{q_{i}\})$を配置と呼び、$\{q_{i}(t)\}$の関数形を過程と呼ぶことにする。

保存力とポテンシャル

直交座標系$(\{x_{j}\})$において、位置$(\{x_{j}\})$と時刻$t$の関数$U=U(\{x_{j}\},t)$を用いて、力$f_{j}$が $f_{j}=-{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}$と表せるとき、この力を保存力と呼び、

そしてこのときの$U$をポテンシャルと呼ぶ。

また、保存力でない力$f_{j}=s_{j}$を非保存力と呼ぶ

ラグランジュ形式

解析力学の基礎には、物理学に様々な形で登場する変分原理の一つであるハミルトンの原理が登場する。変分原理は他にも、光に適用できるフェルマーの原理や、電磁気学におけるディリクレの原理などがある。このような考え方は量子力学の基礎にもなっている。ここでは、ニュートン力学とハミルトンの原理から、ニュートンの運動方程式よりも適用範囲の広いラグランジュ方程式を導出する。

ハミルトンの原理

非保存力が存在しない系が配置A(時刻:$t_{A}$)から配置B(時刻:$t_{B}$)に変化するとき、

$I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)dt$

とおき、いまのところ謎の関数$L=L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)$に含まれる$\{q_{i}\}$の各成分を、微小な$\delta q_{i}=\delta q_{i}(t)$だけ変化させるとき、$\{{\dot {q}}_{i}\}$の各成分も微小に$\delta {\dot {q}}_{i}={\frac {d}{dt}}\delta q_{i}(t)$だけ変化することになる。

ただし、配置A、配置Bそれぞれのときの$\{q_{i}\}$はすでに決めたため、$\delta q_{i}(t_{A})=\delta q_{i}(t_{B})=0$である。

このとき、$L$の変化量は

$\delta L=L(\{q_{i}+\delta q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i}\},t)-L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)$

である。さらに、このときの$I$の変化量は

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L(\{q_{i}+\delta q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i}\},t)dt-\int _{t_{A}}^{t_{B}}L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t)dt$　

すなわち、$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}(L(\{q_{i}+\delta q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i}\},t)-L(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\},t))dt$

である。よって

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}\delta Ldt$

である。 このとき、"$\delta I=0$となるような過程のみが実現する"と仮定する。

そして、この仮定をハミルトンの原理と呼び、$I$を作用と呼び、

ハミルトンの原理をみたす$L$をラグランジアンと呼ぶ。

ラグランジュ方程式

さて、$\{q_{i}\}$のある1成分$q_{i}$のみを$\delta q_{i}$だけ微小変化させるとき、${\dot {q}}_{i}$も微小に$\delta {\dot {q}}_{i}$だけ微小変化することになる。よって、このとき$L$は、

$\delta L={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i}$ だけ変化することになる。よって、

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i})dt$

となる。よって、

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}dt+\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i}dt$

である。ここで第2項にのみ部分積分を用いると、

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}dt+[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}]_{t_{A}}^{t_{B}}-\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})\delta q_{i}dt$

となる。第1項と第3項をまとめ、第2項を展開すると、

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})\delta q_{i}dt+({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t_{B})\delta q_{i}(t_{B})-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t_{A})\delta q_{i}(t_{A}))$

となる。ここで$\delta q_{i}(t_{A})=\delta q_{i}(t_{B})=0$だったから、後半部分が0となり、

$\delta I=\int _{t_{A}}^{t_{B}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})\delta q_{i}dt$

となる。ここで、$\delta q_{i}=\delta q_{i}(t)$がどんな関数形だったとしても$\delta I=0$となるためには

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0$

となっていればよい。この式をラグランジュ方程式と呼ぶ。

ラグランジュ方程式は、ハミルトンの原理と同じことを言っている式である。

ラグランジアンの具体的な形

直交座標を用いてある系の運動エネルギーの合計$T$を表すと、

$T=\sum _{j}{\frac {1}{2}}m_{j}{\dot {x_{j}}}^{2}$

となる。ここで$m_{j}$は、各${\dot {x}}_{j}$に対応する質量である。この式から、

${\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{j}}}=m_{j}{\dot {x}}_{j}$

である。また、$T=T(\{{\dot {x}}_{j}(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})\})$と表せることから、

${\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{j}{\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{j}}}$

である。また、$x_{j}=x_{j}(\{q_{i}(t)\})$と表せることから、

${\dot {x}}_{j}=\sum _{i}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}$

である。よって

${\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}$

となる。以上のことから、

${\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j}$

である。ここで、$p_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$とおく。

$p_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j}$

となる。両辺を時間で微分すると、

${\dot {p}}_{i}={\frac {d}{dt}}(\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j})$

となる。ここで、各$m_{i}$は時間変化しないから、

${\dot {p}}_{i}=\sum _{j}m_{j}{\frac {d}{dt}}({\dot {x}}_{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}})$

となる。ここで、時間微分の部分を展開してシグマを2つに分けると、

${\dot {p}}_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\ddot {x}}_{j}+\sum _{i}{\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {q}_{i}}}m_{j}{\dot {x}}_{j}$

また、ニュートン力学の運動方程式より、

$f_{j}=m_{j}{\ddot {x}}_{j}$

である。以上のことから、

${\dot {p}}_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}f_{j}+\sum _{j}{\frac {\partial {\dot {x}}_{j}}{\partial {q}_{i}}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{j}}}$

である。よって

${\dot {p}}_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}f_{j}+{\frac {\partial T}{\partial {q}_{i}}}$

である。ここで、$F_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}f_{j}$とおき、これを力と呼ぶ。すると、

${\dot {p}}_{i}=F_{i}+{\frac {\partial T}{\partial {q}_{i}}}$

となる。ここで、直交座標においての力$f_{i}$が保存力$-{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}$と非保存力$s_{j}$で構成されているとき、

$F_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}(-{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}+s_{j})$

であるから

$F_{i}=-\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}+\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}s_{j}$

となり

$F_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {q}_{i}}}+\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}s_{j}$

となる。ここで、非保存力$s_{j}$から導かれた力$\sum _{j}{\frac {\partial {x}_{j}}{\partial {q}_{i}}}s_{j}$を$S_{i}$と表し、これも非保存力と表すことにすると、

$F_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}$

となる。以上のことから、

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}+{\frac {\partial T}{\partial {q}_{i}}}$

である。第1項と第3項をまとめると、

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}$

となる。ここで、運動量の定義から

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}$

である。また、$U=U(\{x_{i}(\{q_{i}\})\},t)$と表せるから、

${\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0$

である。以上のことから、

${\frac {d}{dt}}({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}})={\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}+S_{i}$

となり、よって

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-U)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}=S_{i}$

である。ここで、直交座標においての非保存力$s_{j}$がすべて0のとき、非保存力$S_{i}$もすべて0であるから、

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-U)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (T-U)}{\partial {q}_{i}}}=0$

となる。これはラグランジュ方程式そのものであるから、$T-U$はラグランジアンであるといえる。

そこで、$L=T-U$とおくと、

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

であり、${\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0$であったから、

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

であり、

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$

であることがわかる。これを運動量と呼ぶ。

また、ある時刻の位置と運動量をすべて並べて書いた$(\{q_{i}\},\{p_{i}\})$を状態と呼ぶ。

ハミルトン形式

ニュートン力学の適用範囲を広げたラグランジュ形式であったが、ここでは、ラグランジュ方程式からさらに適用範囲を広げたハミルトンの正準方程式を導出する。その際、ルジャンドル変換という数学的テクニックが用いられているが、それは知らなくても理解できる。

ハミルトンの正準方程式

以下では、非保存力$S_{i}$がない場合について考える。このとき、

$H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L$

とおき、これをハミルトニアンと呼ぶ。すると、$H$の微小変化$dH$は、

$dH=\sum _{i}(dp_{i}{\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})-dL$

であり、よって

$dH=\sum _{i}(dp_{i}{\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}$

となる。ここで、前節より

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$

だったから、

$dH=\sum _{i}(dp_{i}{\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})-\sum _{i}p_{i}d{\dot {q}}_{i}$

であり、

$dH=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}dp_{i}$

である。よって、全微分と偏微分の関係から

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial {p}_{i}}}$

とわかる。

また、ハミルトニアンの定義より、

${\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {q}_{i}}}$

であり、また

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$

であったから

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}}$

となる。以上で

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial {p}_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}}$

の2式が導けた。この2式をハミルトンの正準方程式と呼ぶ。

位相空間

対象としている系に属する全ての物体の位置と運動量を成分とする座標$(\{q_{i}\},\{p_{i}\})$を考え、この座標によって表される空間を位相空間と呼ぶ。系の状態はこの空間の点によって表され、この点を系の代表点と呼ぶ。代表点はハミルトンの正準方程式に従い時刻とともに動いていき、位相空間内に軌道を描く。この軌道をトラジェクトリと呼ぶ。

リウヴィルの定理

リウヴィルの定理とは、位相空間においての代表点が時間の経過とともにどこかに集まってしまったり、逆に散らばってしまうことはないという定理である。以下で証明する。

ある代表点$i$の近傍における代表点の数密度を$\rho =\rho (\{q_{i}\},\{p_{i}\},t)$とおく。

$i$の位相空間内での「速度」は$(\{{\dot {q_{i}}}\},\{{\dot {p_{i}}}\})$と表せる。このとき、代表点が増減しないことから、連続の方程式が成立し、

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i}({\frac {\partial }{\partial q_{i}}}(\rho {\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}(\rho {\dot {p}}_{i}))$　

が成り立つ。これを展開すると

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i}({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\rho {\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+\rho {\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}})$

となる。ここにハミルトンの正準方程式を代入すると、

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i}({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\rho {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial {p}_{i}}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}-\rho {\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial {q}_{i}}})$

よって

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i}({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i})$

$0={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i})$

となる。ここで、

${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i})$

である。以上の2式より、

${\frac {d\rho }{dt}}=0$

が成り立つ。

参考文献

• よくわかる解析力学(前野昌弘 著)
• EMANの解析力学(広江克彦 著)