ガウスの足し算

ガウスの足し算（がうすのたしざん）とは、カール・フリードリヒ・ガウスが幼少期時代に編み出した計算方法である。

これは数学Bの数列の和を応用した計算方法であり、数学界でも有名な逸話として残っている。

概要

ガウスが7歳の時、都合で数学教師が席を外さなくてはならなくなった。そこで、数学教師は「1から100まで全ての数を足して求めよ」という問題を出した。

数学教師は「いくら何でも直ぐには答えられない、相当な時間がかかるであろう。」と考えていた。そして、数学教師がドアノブに手をかけた瞬間にガウスが「5050」と答えを出したのである。勿論、この回答は正解であり周りの生徒も、そして問題を出した数学教師も愕然としていた。

ガウスが導き出した回答は以下である。

まず、100+1、99+2、98+3、…、1+100という具合に計算する。すると101が50個出来るため、101×50とする事によって5050が導き出せる。となるとガウスは7歳で等差数列を独学で習得したことになる。これを筆算で表すと

${\begin{aligned}S_{1}&=\color {red}1\color {green}+2\color {blue}+3\color {black}+\dotsb \color {magenta}+100\\[5pt]{}+S_{2}&=\color {red}100\color {green}+99\color {blue}+98\color {black}+\dotsb \color {magenta}+97\\\hline 2S_{3}&=\color {red}101\color {green}+101\color {blue}+101\color {black}+\dotsb \color {magenta}+101\end{aligned}}$

となる。なので$2S$を求めると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$2S=101$× $100$

$2$を右辺に移行して

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$S=$${\frac {1}{2}}$×$101$×$100$

したがって

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$S=50$×$101=5050$

と表される。

従ってこれを等差数列の和の公式$S=$${\frac {1}{2}}$$n(a+l)$に当てはめたとしても同じ答えとなる。

例えば本項目での数列で表してみると、初項が$1$、末項が$100$、項数も$100$であるから、それを公式に代入する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$S=$${\frac {1}{2}}$×$100$×$(1+100)$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$S=50$×$101$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$S=5050$

従って、私たちが高校生で習う等差数列の和の公式を使うことによって楽に早く計算できるモノを、ガウスは若干7歳にして独自の考えで導き出している。そのため、ガウスがどれほどの神童さを発揮していたかを物語っている。

補足

…… とされているが、その別証明を小学校三年生に見せられて orz になった経験がある。
「1 から 100 の合計」は、「0 から 100 の合計（0 プラス「1 から 100 の合計」）」に等しい。
ゆえに、「0 から 100 の合計」は、「百×百一の半分に等しい」。
ゆえに、「1 から 100 の合計」は、5,050 に等しい。