単振動

物理学のニュートン力学に於ける単振動とは壁に固定したばねに物体を繋いで引っ張った時に生じる左右の振動及びそれに類似した振動である。

概要

上述のよーな運動を行ったとき横方向の距離を$x$、横方向の外力を$F_{x}$とおくと以下のフックの法則が成り立つ(比例定数のkは「ばね定数」と呼ばれている)。；

$F_{x}=-kx$

この法則にニュートンの運動方程式を代入すると

$m{\ddot {x}}=-kx$

となる。ここで$\omega ^{2}=k/m$とおけば上記2階線形微分方程式は

${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0$

と書ける。この微分方程式の特性方程式は

$\alpha ^{2}+\omega ^{2}=0$

であり、解くと$\alpha =\pm i\omega$が得られる。従って上記微分方程式の一般解は次式で与えられる。；

$x=c_{1}\cos {\omega t}+c_{2}\sin {\omega t}$

更に$c_{1}=A\sin {\theta _{0}},c_{2}=A\cos {\theta _{0}}$とおけば上記の一般解は

• $x=A\sin {(\omega t+\theta _{0})}$

と表わせる。

上述の解の係数Aを振幅といい正弦の中身を位相と呼ぶ。特に$\theta _{0}$は時刻tが零のときの位相なので初期位相と呼ばれる。

上記の解の独立変数にt+T代入したら

${\begin{aligned}x(t+T)&=A\sin {(\omega (t+T)+\theta _{0})}\\&=A\sin {(\omega t+\theta _{0}+\omega T)}\end{aligned}}$

となるが正弦関数は周期 $T=2\pi$の周期関数であるから

$\omega T=2\pi$

が成り立たねばならない。従って

• $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

とゆー等式が成立する。

ところで単位時間当たりの振動の回数を振動数といいνで表わすんだが1回振動するのにかかる時間が周期Tなんだから振動数と周期には以下の関係が成り立つ事になる。；

• $\nu ={\frac {1}{T}}$

これより以下の如き公式が導かれた事になる。；

• $\omega =2\pi \nu$

上述のωは角振動数と呼ばれている。

※ちなみに振動数の単位は「Hz(ヘルツ)」、角振動数の単位は「rad/s(ラジアン毎秒)」と呼ぶ。

単振動のエネルギー

上記一般解の角度をφとおいて微分したら

${\dot {x}}=-A\omega \cos {\phi }$

となるが、これを運動エネルギーの公式に代入したら

$K={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\cos ^{2}{\phi }$

となる。また$F_{x}=-m\omega ^{2}x$と位置エネルギーの公式より

${\begin{aligned}U&=-\int F_{x}dx=\int m\omega ^{2}xdx={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\\&={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}{\phi }\end{aligned}}$

が得られる。これらを力学的エネルギー保存則

$K+U=E$

に代入したら以下の如く単振動のエネルギーが導かれる。；

• $E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}$

従って単振動のエネルギーは角振動数の2乗と振幅の2乗に比例する。