レムニスケート

レムニスケートとは、8の字または∞の形をした曲線の総称。双紐線や蔓葉線とも。

概要

ベルヌーイのレムニスケートが有名だが、ヒッポペードやジェローノのレムニケートもレムニスケートである。

ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケートとは、$(x^{2}+y^{2})^{2}-a(x^{2}-y^{2})=0$で表せられる曲線。連珠形とも。カッシーニの卵形線の特別な場合である。

性質

• x軸、y軸に対して線対称
• 原点で自らと交わる
• 原点における接線は$y=\pm x$
• レムニスケートの焦点$(\pm a,0)$について、レムニスケート上の任意の点は、各焦点との距離の積は一定値$a^{2}$をとる
• 標準形の双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡である
• 中心が標準形の双曲線上にあり、原点を通る円の包絡線である
• 各ループに囲まれる面積は、$a^{2}$
• 極方程式の偏角$\theta$の点における法線とx軸との成す角は、$3\theta$

極方程式

極方程式では、

• $r^{2}=a^{2}\cos 2\theta$

と表せられる。

ヒッポペード

ヒッポペードとは、$(x^{2}+y^{2})^{2}-(cx^{2}+dy^{2})=0$で表せられる曲線。

極方程式

極方程式では、

• $r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\theta )$

と表せられる。これは直交座標においては、

• $(x^{2}+y^{2})^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}$

つまり、

• $(x^{2}+y^{2})^{2}-(4abx^{2}+4b(a-b)y^{2})=0$

である。

ジェローノのレムニケート

ジェローノのレムニケートとは、$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0$で表せられる曲線。ホイヘンスのレムニケートとも。リサージュ曲線の特別な場合である。

媒介変数表示

媒介変数表示では、rを半径、回転角をθとして、

• $x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}$
• $y={\frac {2t(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}^{2}$

や

• $x=\cos \theta$
• $y={\frac {1}{2}}\sin 2\theta$

と表せられる。