転換法

転換法とは、数学の証明法の一つであり、

• 命題 p₁⇒q₁, p₂⇒q₂, p₃⇒q₃...がすべて真
• p₁, p₂, p₃... がすべての場合を尽くす
• q₁, q₂, q₃... のうちどの2つも同時に真とならない

のすべての条件が成り立つ場合に、q₁⇒p₁,q₂⇒p₂, q₃⇒p₃... がすべて真になる、というものである。円周角の定理の逆などの証明に用いられる。名前自体は教わらないが、前述のように中学校でも使用される。

証明

1. p₁⇒q₁, p₂⇒q₂, p₃⇒q₃...はすべて真とする。
2. q₁⇒p₂とすると、q₁が真のときp₂⇒q₂よりq₁とq₂が同時に真になるので矛盾。
3. 同じように、q₁⇒p₃...も矛盾を引き起こす。
4. よってq₁⇒p₁
5. 同じようにし、q₂⇒p₂, q₃⇒p₃...

練習

練習問題 : 転換法による証明

二次方程式ax²+bx+c=0(a≠0)の判別式をDとする。この二次方程式が実数解をもたないとき、D<0であることを証明せよ。

解答と解説は右をクリックして表示！

「D>0⇒異なる2つの実数解をもつ、D=0⇒実数解を1つもつ、D<0⇒実数解をもたない」はすべて真で、D>0、D=0、D<0はすべての場合を尽くし、かつ実数解の個数は0個から2個のうちどれか一つのみなので、転換法より、題意は示された。