循環小数
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循環小数（じゅんかんしょうすう）とは、ある桁から先で同じ組み合わせの数字の列が無限に繰り返しループして続く小数のことである。繰り返される数字の列を循環節という。循環小数で、最も代表的なものは、1÷7=0.142857142857142857…である。このとき循環節（繰り返し現れる部分）は「142857」で、循環桁数は6桁であるため、これを「0.[142857]」と表記する流儀もある。循環節の「142857」を抜き出し、142857×7 を求めると 999999 となり、9が複数並ぶ。
すなわち、小数点の後に9が無限に続く「0.99999999999……」は 1 であるが、「0.[9]＝1」と書くと短くて済む。
循環節に、ある数を掛けると、巡回数が現れる。循環節は、10のいくつかの乗に当たる数から1を引いたものである。素数の逆数は、循環小数となる。
概要[編集]
循環小数は全て分数で表すことができ、有理数である。
循環小数は、不思議な数である。一方で、有理数のうち整数、有限小数でないものは循環小数である。
循環節の長さ・循環桁数[編集]
循環桁数の出し方は、約数の個数チェックで調べてみればすぐ見つかる。循環桁数は、「分母の素数-1」の約数で循環する。
- 1桁：3×3=9
- 2桁：11×9=99
- 3桁：37×27=999
- 4桁：101×99=9999
- 5桁：41×2439=99999
- 6桁：142857×7=999999、15873×63=999999、5291×189=999999
- 7桁：239×41841=9999999
- 8桁：1369863×73=99999999
- 9桁：12345679×81=999999999
- 10桁：9091×1099989=9999999999
- 11桁：194841×513239=99999999999
- 12桁：999999×101×9901=999999999999
- 13桁：126582278481×79=9999999999999
- 14桁：109999989×909091=99999999999999
- 15桁：32258064516129×31=999999999999999
- 16桁：588235294117647×17=9999999999999999
- 18桁：52631578947368421×19=999999999999999999、10999999989*90909091=999999999999999999
- その他
※最大桁数は、6ビットの64桁まで表す。
- 素数を優先した場合
| 素数 | 循環桁数 |
|---|---|
| 3 | 1 |
| 7 | 6 |
| 11 | 2 |
| 13 | 6 |
| 17 | 16 |
| 19 | 18 |
| 23 | 22 |
| 29 | 28 |
| 31 | 15 |
| 37 | 3 |
| 41 | 5 |
| 43 | 21 |
| 47 | 46 |
| 53 | 13 |
| 59 | 58 |
| 61 | 60 |
142857に1～6までの数字を掛けると、桁のスタート位置が違っても、6桁の範囲で同じ順番の組み合わせの数字が巡回している。285714,428571,571428,714285,857142。元の6桁の数字「142857」のいくつかを先頭に持っていった6桁の数が並ぶ。7分の1を少数に直すと142857がループする。