循環小数

循環小数（じゅんかんしょうすう）とは、ある桁から先で同じ組み合わせの数字の列が無限に繰り返しループして続く小数のことである。繰り返される数字の列を循環節という。循環小数で、最も代表的なものは、1÷7=0.142857142857142857…である。このとき循環節（繰り返し現れる部分）は「142857」で、循環桁数は6桁であるため、これを「0.[142857]」と表記する流儀もある。循環節の「142857」を抜き出し、142857×7 を求めると 999999 となり、9が複数並ぶ。
すなわち「0.99999999999……」は 1 であるが、「0.[9]＝1」と書くと短くて済む。
循環節に、ある数を掛けると、巡回数が現れる。循環節は、10のいくつかの乗に当たる数から1を引いたものである。素数の逆数は、循環小数となる。

概要

循環小数は全て分数で表すことができ、有理数である。

循環小数は、不思議な数である。一方で、有理数のうち整数、有限小数でないものは循環小数である。

循環節の長さ・循環桁数

循環桁数の出し方は、約数の個数チェックで調べてみればすぐ見つかる。循環桁数は、「分母の素数-1」の約数で循環する。

• 1桁：3×3=9
• 2桁：11×9=99
• 3桁：37×27=999
• 4桁：101×99=9999
• 5桁：41×2439=99999
• 6桁：142857×7=999999、5291×189=999999、15873×63=999999
• 7桁：239×41841=9999999
• 8桁：1369863×73=99999999
• 9桁：12345679×81=999999999
• 10桁：9091×1099989=9999999999
• 11桁：194841×513239=99999999999
• 12桁：999999×101×9901=999999999999
• 13桁：126582278481×79=9999999999999
• 14桁：109999989×909091=99999999999999
• 15桁：32258064516129×31=999999999999999
• 16桁：588235294117647×17=9999999999999999
• 18桁：52631578947368421×19=999999999999999999、10999999989*90909091=999999999999999999
• その他

※最大桁数は、6ビットの64桁まで表す。

素数を優先した場合

素数	循環桁数
3	1
7	6
11	2
13	6
17	16
19	18
23	22
29	28
31	15
37	3
41	5
43	21
47	46
53	13
59	58
61	60

外部リンク

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