一昨日帰納法

一昨日帰納法(おとといきのうほう)は数学に関する受験用語。

概要

数学的帰納法の一形態であり、「帰納」と「昨日」をかけた洒落。

具体的には、P(n+2)がP(n)とP(n+1)に依存するものを指す。すなわち、

• P(1)とP(2)の成立を示す
• P(n)とP(n+1)が成立すると仮定してP(n+2)の成立を示す

ことによって任意の自然数nについてP(n)が成立することを示すものを指す。

さらに、数学的帰納法のうち、P(n)がP(1)からP(n-1)まですべてに依存していることを利用したものを、生まれた日(1)から昨日(n-1)までになぞらえて人生帰納法と呼ぶことがあるが、これも受験用語である。一般的には累積帰納法という。

練習問題 : 一昨日帰納法の利用

n が正の整数で、2数 x,y の和および積が整数ならば

$x^{n}+y^{n}$ が整数 ――― (＊)

を証明せよ。

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(証明) nは正の整数である。 (I) n=1,2 のとき $x^{1}+y^{1}=x+y$ $x^{2}+y^{2}=\left(x+y\right)^{2}-2xy$ x+y および xy はそれぞれ整数だからこれらはいずれも整数。よって、n=1,2 のとき(＊)は成り立つ。 (II) n=k,k+1 (kはある自然数) のとき(＊)が成り立つと仮定する。すなわち xk+yk, xk+1+yk+1 がともに整数であると仮定する。このとき、 $x^{k+2}+y^{k+2}=\left(x+y\right)\left(x^{k+1}+y^{k+1}\right)-xy\left(x^{k}+y^{k}\right)$ x+y,　xy,　xk+yk,　xk+1+yk+1 はいずれも整数であるからこれも整数。よって、n=k,k+1 ならば n=k+2 のとき(＊)は成り立つ。 以上(I)(II)より、全ての正の整数nにおいて(＊)は成立する。 (証明終)