円 (数学)

円(えん)とは、ある点(中心)から平面上で一定の長さ(半径)にある点を限りなく細かくとった平面図形。正多角形の辺や角の数を無限大まで増やした図形ともいえる。

用語[編集]

半径 $r$ の円の円周は、

 $2{\pi }r$

で求められる。 $\pi$ は円周率と呼ばれ、円周を直径で割った値がどんな円でも一定の値 3.14… となるため定数として扱われている。

右の図のように、円板を扇形に刻んでそれらを互い違いに並べていく。扇形の分割数を限りなく増やすと底辺が $\pi r$ 、高さが $r$ の長方形（平行四辺形）とみなせるので、もとの円の面積が $S=\pi r^{2}$ で与えられることが分かる。

以下のように積分を使って導出することもできる。

半径 r の円は xy 平面上で $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ の式で表される。これを y を x の式で表すと $y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ と変形できる。

ここで $y>0$ の領域だけ考えれば、この部分に含まれる面積はもとの円の 1/2 なので、円の面積 S は

{\frac {S}{2}}=\int _{-r}^{r}ydx

のように表される。これを計算すると、

{\begin{aligned}S&=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx\\&=\left[x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}+r^{2}\arcsin {\frac {x}{r}}\right]_{-r}^{r}\\&=r^{2}\arcsin 1-r^{2}\arcsin(-1)\\&=r^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {-\pi }{2}}\right)\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}