有理関数

有理関数(ゆうりかんすう)とは、関数の一種である。

概要[編集]

変数、および定数の四則演算（和、差、積、商）だけで表される関数のことを、有理関数と呼ぶ。有理関数は、多項式÷多項式の形で表される。

性質[編集]

有理関数の和、差、積、商は有理関数となる。また、有理数上、実数上、複素数上いずれでも定義できるが、全ての数で定義できるとは限らない。

一変数の場合[編集]

変数が一つだけの場合、有理関数 $f(x)$ は、m次多項式 $P_{m}(x)$ 、n次多項式 $Q_{n}(x)$ を用いて、次の様に表される。

$f(x)={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}$

有理関数は、 $Q_{n}(x)=0$ となる $x$ に対しては定義できない。 $n\geq 1$ であれば、代数学の基本定理より $Q_{n}(x)=0$ となる複素数 $x$ が必ず存在するため、複素数全体で定義することはできない。 $n$ が奇数かつ係数が全て実数であれば、 $Q_{n}(x)=0$ は必ず実数解を持つので、全ての実数に対して定義することもできない。

要注意なのが $P_{m}(x)=Q_{n}(x)=0$ の時で、この様になる $x$ に対しても定義してはいけない。この場合、後述の記法を用いて、約分することでゼロ割りにならない様に「錯覚」する場合があるので要注意。

複素数係数の有理関数であれば、代数学の基本定理を用いることで、多項式の因数分解が可能であり、次の様な形に直すことができる。 $f(x)=K\cdot {\frac {(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{m})}{(x-\beta _{1})(x-\beta _{2})\cdots (x-\beta _{n})}}$

この時、一般的には $P_{m}(x)=0$ の解、即ち $x=\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}$ で $f(x)=0$ となるので、 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}$ のことを「零点」と呼ぶ。一方、 $Q_{n}(x)=0$ の解、 $x=\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{m}$ では定義できないが、これらの点の近傍では無限大に近い値となるので、 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{m}$ のことを「極」と呼ぶ。

一般的に、零点は分子の次数分、極は分母の次数分存在する。しかし、複数の零点、あるいは極が重複する場合もあるので、次数だけで零点・極の数が特定できるわけではない。

なお、零点と極が重複する様に見える時、即ち $P_{m}(x)=Q_{n}(x)=0$ の場合は、零点とは呼ばない。極と呼ぶかどうかは人により意見が異なる。というのは、例えば $f(x)=(x^{2}-3x+2)/(x^{2}-5x+6)$ という関数を考えた場合、 $x=2$ では定義できないので極であるとも言える。一方で、 $x\neq 2,3$ ならば $f(x)=(x-1)/(x-3)$ と同じであり、 $x\approx 2$ であれば $f(x)\approx -1$ となり発散しないので、極でないとも言える。